2.5.15 Verifique que \mathbf{L} \times \mathbf{L}=i \mathbf{L} em coordenadas polares esféricas. \mathbf{L}=-i(\mathbf{r} \times \boldsymbol{\nabla}), o operador de momento angular orbital da mecânica quântica.
Sugestão: Use coordenadas polares esféricas para L mas componentes cartesianas para o produto vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\mathbf{L}\times\mathbf{L}=i\,\mathbf{L}
sendo
\mathbf{L}=-i(\mathbf{r}\times\boldsymbol{\nabla})
o operador de momento angular orbital. Vamos usar coordenadas esféricas para a forma de \mathbf{L}, mas o produto vetorial será tratado em componentes cartesianas, via o símbolo de Levi-Civita.

Passo 2

Em componentes cartesianas, o produto vetorial de dois operadores \mathbf{A} e \mathbf{B} é
(\mathbf{A}\times\mathbf{B})_i=\sum_{j,k}\varepsilon_{ijk}\,A_j\,B_k.
Logo
(\mathbf{L}\times\mathbf{L})_i=\varepsilon_{ijk}\,L_j\,L_k.

Passo 3

Observe que podemos decompor o produto L_jL_k em parte simétrica e parte antissimétrica:
L_jL_k=\tfrac12(L_jL_k+L_kL_j)+\tfrac12\,[L_j,L_k].
Como \varepsilon_{ijk} é antissimétrico em j\leftrightarrow k, a parte simétrica \tfrac12(L_jL_k+L_kL_j) não contribui ao contrair com \varepsilon_{ijk}. Resta portanto
(\mathbf{L}\times\mathbf{L})_i =\tfrac12\,\varepsilon_{ijk}\,[L_j,L_k].

Passo 4

Em qualquer base (inclusive esférica) as componentes de \mathbf{L} satisfazem as relações de comutação canônicas
[L_j,L_k]=i\,\varepsilon_{jkl}\,L_l.
Substituindo em cima:
(\mathbf{L}\times\mathbf{L})_i =\tfrac12\,\varepsilon_{ijk}\,\bigl(i\,\varepsilon_{jkl}\,L_l\bigr) =i\,\tfrac12\,\varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{jkl}\,L_l.

Passo 5

Usando a identidade de contração de dois símbolos de Levi-Civita em três dimensões,
\varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{jkl}=2\,\delta_{il},
segue
(\mathbf{L}\times\mathbf{L})_i =i\,\tfrac12\,(2\,\delta_{il})\,L_l =i\,L_i.

Resposta

\boxed{\mathbf{L}\times\mathbf{L}=i\,\mathbf{L}.}

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