2.5.15 Verifique que
em coordenadas polares esféricas.
, o operador de momento angular orbital da mecânica quântica.
Sugestão: Use coordenadas polares esféricas para L mas componentes cartesianas para o produto vetorial.
Sugestão: Use coordenadas polares esféricas para L mas componentes cartesianas para o produto vetorial.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
sendo
o operador de momento angular orbital. Vamos usar coordenadas esféricas para a forma de
, mas o produto vetorial será tratado em componentes cartesianas, via o símbolo de Levi-Civita.
Passo 2
Em componentes cartesianas, o produto vetorial de dois operadores
e
é
Logo
Passo 3
Observe que podemos decompor o produto
em parte simétrica e parte antissimétrica:
Como
é antissimétrico em
, a parte simétrica
não contribui ao contrair com
. Resta portanto
Passo 4
Em qualquer base (inclusive esférica) as componentes de
satisfazem as relações de comutação canônicas
Substituindo em cima:
Passo 5
Usando a identidade de contração de dois símbolos de Levi-Civita em três dimensões,
segue