2.5.15 Verifique que L times L=i L em coordenadas polares esféricas. L=-i(r times nabla), o operador de momento angular orbital da mecânica quântica.
Sugestão: Use coordenadas polares esféricas para L mas componentes cartesianas para o produto vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
LtimesL=i,L
sendo
L=-i(rtimesnabla)
o operador de momento angular orbital. Vamos usar coordenadas esféricas para a forma de L, mas o produto vetorial será tratado em componentes cartesianas, via o símbolo de Levi-Civita.

Passo 2

Em componentes cartesianas, o produto vetorial de dois operadores A e B é
(AtimesB)i=sumj,kvarepsilonijk,Aj,Bk
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(LtimesL)i=varepsilonijk,Lj,Lk

Passo 3

Observe que podemos decompor o produto LjLk em parte simétrica e parte antissimétrica:
LjLk=tfrac12(LjLk+LkLj)+tfrac12,[Lj,Lk]
Como varepsilonijk é antissimétrico em jrightarrow k, a parte simétrica tfrac12(LjLk+LkLj) não contribui ao contrair com varepsilonijk. Resta portanto
(LtimesL)i =tfrac12,varepsilonijk,[Lj,Lk]

Passo 4

Em qualquer base (inclusive esférica) as componentes de L satisfazem as relações de comutação canônicas
[Lj,Lk]=i,varepsilonjkl,Ll
Substituindo em cima:
(LtimesL)i =tfrac12,varepsilonijk,l(i,varepsilonjkl,Llr) =i,tfrac12,varepsilonijk,varepsilonjkl,Ll

Passo 5

Usando a identidade de contração de dois símbolos de Levi-Civita em três dimensões,
varepsilonijk,varepsilonjkl=2,de<ail,
segue
(LtimesL)i =i,tfrac12,(2,de<ail),Ll =i,Li

Resposta

boxedLtimesL=i,L

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