1.5.11 O vetor é uma combinação linear de três vetores não-coplanares (e não-ortogonais):
Mostre que os coeficientes são dados por uma razão de produtos escalares triplos,
Esta é a identidade de Jacobi para produtos vetoriais; para comutadores, é importante no contexto de álgebras de Lie (veja a Equação (4.16) na Seção 4.2).
Passo 1
O enunciado diz que temos três vetores não-coplanares e um vetor que se escreve como combinação linear
Queremos encontrar em termos de produtos escalares triplos (também chamados de produtos mistos). Para isso, usaremos a definição e as propriedades de linearidade do produto escalar misto
além de observar que é perpendicular a e a .
Passo 2
Multiplicamos escalarmente a expressão pelo vetor . Pela linearidade do escalar e pelo fato de
ficamos com
Passo 3
Como A,B,C não são coplanares, temos Acdot(BtimesC)neq0. Logo,
a = Dcdot(BtimesC) Acdot(BtimesC)
Passo 4
Para obter b, repetimos o mesmo raciocínio multiplicando por CtimesA. Usa-se
(CtimesA)cdotC=0, (CtimesA)cdotA=0,
ficando
Dcdot(CtimesA) = b,Bcdot(CtimesA),
de onde
b = Dcdot(CtimesA) Bcdot(CtimesA)
Passo 5
Para c, multiplicamos por AtimesB e obtemos
Dcdot(AtimesB) = c,Ccdot(AtimesB),
logo
c = Dcdot(AtimesB) Ccdot(AtimesB)
Resposta
a = Dcdot(BtimesC) Acdot(BtimesC), b = Dcdot(CtimesA) Bcdot(CtimesA), c = Dcdot(AtimesB) Ccdot(AtimesB)
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 1.5 - Ex. 1.5.11