1.5.11 O vetor \mathbf{D} é uma combinação linear de três vetores não-coplanares (e não-ortogonais):
\mathbf{D}=a \mathbf{A}+b \mathbf{B}+c \mathbf{C}
Mostre que os coeficientes são dados por uma razão de produtos escalares triplos,
a=\frac{\mathbf{D} \cdot \mathbf{B} \times \mathbf{C}}{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \times \mathbf{C}}, \quad \text { e assim por diante. }
{ }^{13} Esta é a identidade de Jacobi para produtos vetoriais; para comutadores, é importante no contexto de álgebras de Lie (veja a Equação (4.16) na Seção 4.2).
Passo 1
O enunciado diz que temos três vetores não-coplanares \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} e um vetor \mathbf{D} que se escreve como combinação linear
Queremos encontrar a,b,c em termos de produtos escalares triplos (também chamados de produtos mistos). Para isso, usaremos a definição e as propriedades de linearidade do produto escalar misto
\mathbf{X}\cdot(\mathbf{Y}\times\mathbf{Z}),
além de observar que \mathbf{B}\times\mathbf{C} é perpendicular a \mathbf{B} e a \mathbf{C}.
Passo 2
Multiplicamos escalarmente a expressão \mathbf{D}=a\,\mathbf{A}+b\,\mathbf{B}+c\,\mathbf{C} pelo vetor \mathbf{B}\times\mathbf{C}. Pela linearidade do escalar e pelo fato de
c = \frac{\mathbf{D}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})} {\mathbf{C}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})}.
Resposta
a = \frac{\mathbf{D}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})} {\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})},\quad b = \frac{\mathbf{D}\cdot(\mathbf{C}\times\mathbf{A})} {\mathbf{B}\cdot(\mathbf{C}\times\mathbf{A})},\quad c = \frac{\mathbf{D}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})} {\mathbf{C}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})}.
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 1.5 - Ex. 1.5.11