1.5.11 O vetor D é uma combinação linear de três vetores não-coplanares (e não-ortogonais):
D=a A+b B+c C
Mostre que os coeficientes são dados por uma razão de produtos escalares triplos,
a=D cdot B times CA cdot B times C, e assim por diante

  1. ^13 Esta é a identidade de Jacobi para produtos vetoriais; para comutadores, é importante no contexto de álgebras de Lie (veja a Equação (4.16) na Seção 4.2).

Passo 1

O enunciado diz que temos três vetores não-coplanares A,B,C e um vetor D que se escreve como combinação linear
D = a,A + b,B + c,C
Queremos encontrar a,b,c em termos de produtos escalares triplos (também chamados de produtos mistos). Para isso, usaremos a definição e as propriedades de linearidade do produto escalar misto
Xcdot(YtimesZ),
além de observar que BtimesC é perpendicular a B e a C.

Passo 2

Multiplicamos escalarmente a expressão D=a,A+b,B+c,C pelo vetor BtimesC. Pela linearidade do escalar e pelo fato de
(BtimesC)cdotB=0, (BtimesC)cdotC=0,
ficamos com
Dcdot(BtimesC) = a,Acdot(BtimesC) + b,underbraceBcdot(BtimesC)0 + c,underbraceCcdot(BtimesC)0 = a,Acdot(BtimesC)

Passo 3

Como A,B,C não são coplanares, temos Acdot(BtimesC)neq0. Logo,
a = Dcdot(BtimesC) Acdot(BtimesC)

Passo 4

Para obter b, repetimos o mesmo raciocínio multiplicando por CtimesA. Usa-se
(CtimesA)cdotC=0, (CtimesA)cdotA=0,
ficando
Dcdot(CtimesA) = b,Bcdot(CtimesA),
de onde
b = Dcdot(CtimesA) Bcdot(CtimesA)

Passo 5

Para c, multiplicamos por AtimesB e obtemos
Dcdot(AtimesB) = c,Ccdot(AtimesB),
logo
c = Dcdot(AtimesB) Ccdot(AtimesB)

Resposta

a = Dcdot(BtimesC) Acdot(BtimesC), b = Dcdot(CtimesA) Bcdot(CtimesA), c = Dcdot(AtimesB) Ccdot(AtimesB)

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