1.5.11 O vetor \mathbf{D} é uma combinação linear de três vetores não-coplanares (e não-ortogonais):
\mathbf{D}=a \mathbf{A}+b \mathbf{B}+c \mathbf{C}
Mostre que os coeficientes são dados por uma razão de produtos escalares triplos,
a=\frac{\mathbf{D} \cdot \mathbf{B} \times \mathbf{C}}{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \times \mathbf{C}}, \quad \text { e assim por diante. }

  1. { }^{13} Esta é a identidade de Jacobi para produtos vetoriais; para comutadores, é importante no contexto de álgebras de Lie (veja a Equação (4.16) na Seção 4.2).

Passo 1

O enunciado diz que temos três vetores não-coplanares \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} e um vetor \mathbf{D} que se escreve como combinação linear
\mathbf{D} = a\,\mathbf{A} + b\,\mathbf{B} + c\,\mathbf{C}.
Queremos encontrar a,b,c em termos de produtos escalares triplos (também chamados de produtos mistos). Para isso, usaremos a definição e as propriedades de linearidade do produto escalar misto
\mathbf{X}\cdot(\mathbf{Y}\times\mathbf{Z}),
além de observar que \mathbf{B}\times\mathbf{C} é perpendicular a \mathbf{B} e a \mathbf{C}.

Passo 2

Multiplicamos escalarmente a expressão \mathbf{D}=a\,\mathbf{A}+b\,\mathbf{B}+c\,\mathbf{C} pelo vetor \mathbf{B}\times\mathbf{C}. Pela linearidade do escalar e pelo fato de
(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\cdot\mathbf{B}=0, \quad (\mathbf{B}\times\mathbf{C})\cdot\mathbf{C}=0,
ficamos com
\mathbf{D}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = a\,\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) + b\,\underbrace{\mathbf{B}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})}_{0} + c\,\underbrace{\mathbf{C}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})}_{0} = a\,\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}).

Passo 3

Como \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} não são coplanares, temos \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})\neq0. Logo,
a = \frac{\mathbf{D}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})} {\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})}.

Passo 4

Para obter b, repetimos o mesmo raciocínio multiplicando por \mathbf{C}\times\mathbf{A}. Usa-se
(\mathbf{C}\times\mathbf{A})\cdot\mathbf{C}=0, \quad (\mathbf{C}\times\mathbf{A})\cdot\mathbf{A}=0,
ficando
\mathbf{D}\cdot(\mathbf{C}\times\mathbf{A}) = b\,\mathbf{B}\cdot(\mathbf{C}\times\mathbf{A}),
de onde
b = \frac{\mathbf{D}\cdot(\mathbf{C}\times\mathbf{A})} {\mathbf{B}\cdot(\mathbf{C}\times\mathbf{A})}.

Passo 5

Para c, multiplicamos por \mathbf{A}\times\mathbf{B} e obtemos
\mathbf{D}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = c\,\mathbf{C}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}),
logo
c = \frac{\mathbf{D}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})} {\mathbf{C}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})}.

Resposta

a = \frac{\mathbf{D}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})} {\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})},\quad b = \frac{\mathbf{D}\cdot(\mathbf{C}\times\mathbf{A})} {\mathbf{B}\cdot(\mathbf{C}\times\mathbf{A})},\quad c = \frac{\mathbf{D}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})} {\mathbf{C}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})}.

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