1.5.18 Uma carga elétrica q_{1} movendo-se com velocidade \mathbf{v}_{1} produz uma indução magnética \mathbf{B} dada por
\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} q_{1} \frac{\mathbf{v}_{1} \times \hat{\mathbf{r}}}{r^{2}} \quad \text { (unidades mks) },
em que \hat{\mathbf{r}} aponta de q_{1} para o ponto em que \mathbf{B} é medido (lei de Biot e Savart).
(a) Mostre que a força magnética sobre uma segunda carga q_{2}, velocidade \mathbf{v}_{2}, é dada pelo produto vetorial triplo
\mathbf{F}_{2}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} \mathbf{v}_{2} \times\left(\mathbf{v}_{1} \times \hat{\mathbf{r}}\right) .
(b) Escreva a força magnética correspondente \mathbf{F}_{1} que q_{2} exerce sobre q_{1}. Defina seu vetor unitário radial. Como \mathbf{F}_{1} e \mathbf{F}_{2} se comparam?
(c) Calcule \mathbf{F}_{1} e \mathbf{F}_{2} para o caso de q_{1} e q_{2} se movimentarem ao longo de trajetórias paralelas lado a lado.
Resposta:
(b) \mathbf{F}_{1}=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} \mathbf{v}_{1} \times\left(\mathbf{v}_{2} \times \hat{\mathbf{r}}\right).
Em geral, não há nenhuma relação simples entre
\mathbf{F}_{1} and \mathbf{F}_{2}. Especificamente, a terceira lei de Newton, \mathbf{F}_{1}=-\mathbf{F}_{2}, não se aplica.
(c) \mathbf{F}_{1}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} v^{2} \hat{\mathbf{r}}=-\mathbf{F}_{2}.
Atração mútua.

Passo 1

O enunciado trata do campo magnético gerado por uma carga em movimento (Lei de Biot–Savart) e da força magnética que outra carga sofre (força de Lorentz). Temos
\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,q_{1}\,\frac{\mathbf{v}_{1}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}
e a força magnética sobre q_{2} é
\mathbf{F}_{2}=q_{2}\,\mathbf{v}_{2}\times\mathbf{B}.
Para o item (b) aplicaremos o mesmo raciocínio invertendo os papéis das cargas, definindo o vetor unitário radial adequado; e no (c) usaremos a identidade do produto vetorial triplo
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) =\mathbf{b}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) -\mathbf{c}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\,.

Passo 2

(a) Substituindo \mathbf{B} na força de Lorentz para q_{2}:
\mathbf{F}_{2} =q_{2}\,\mathbf{v}_{2}\times\mathbf{B} =q_{2}\,\mathbf{v}_{2}\times\Bigl(\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,q_{1}\,\frac{\mathbf{v}_{1}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}\Bigr) =\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\, \mathbf{v}_{2}\times\bigl(\mathbf{v}_{1}\times\hat{\mathbf{r}}\bigr)\,.

Passo 3

(b) Para a força sobre q_{1} causada por q_{2}, definimos o vetor unitário que aponta de q_{2} para q_{1} como
\hat{\mathbf{r}}'=-\hat{\mathbf{r}}.
O campo de q_{2} em q_{1} é
\mathbf{B}_{2} =\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,q_{2}\,\frac{\mathbf{v}_{2}\times\hat{\mathbf{r}}'}{r^{2}} =-\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{q_{2}}{r^{2}}\, \mathbf{v}_{2}\times\hat{\mathbf{r}}.
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\mathbf{F}_{1} =q_{1}\,\mathbf{v}_{1}\times\mathbf{B}_{2} =-\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\, \mathbf{v}_{1}\times\bigl(\mathbf{v}_{2}\times\hat{\mathbf{r}}\bigr).

Passo 4

Em geral \mathbf{F}_{1} e \mathbf{F}_{2} não satisfazem \mathbf{F}_{1}=-\mathbf{F}_{2}, pois envolvem produtos vetoriais triplos diferentes. Ou seja, a terceira lei de Newton no formato \mathbf{F}_{1}=-\mathbf{F}_{2} não vale para forças magnéticas dependentes de velocidade.

Passo 5

(c) Agora suponha que q_{1} e q_{2} movem-se lado a lado com a mesma velocidade \mathbf{v}_{1}=\mathbf{v}_{2}=\mathbf{v} e que \mathbf{v}\perp\hat{\mathbf{r}}. Usando
\mathbf{v}\times(\mathbf{v}\times\hat{\mathbf{r}}) =\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\cdot\hat{\mathbf{r}}) -\hat{\mathbf{r}}\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}) = -v^{2}\,\hat{\mathbf{r}},
têm-se
\mathbf{F}_{2} =\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\, \bigl(\mathbf{v}\times(\mathbf{v}\times\hat{\mathbf{r}})\bigr) =-\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\,v^{2}\,\hat{\mathbf{r}},
e
\mathbf{F}_{1} =-\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\, \bigl(\mathbf{v}\times(\mathbf{v}\times\hat{\mathbf{r}})\bigr) = +\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\,v^{2}\,\hat{\mathbf{r}} =-\mathbf{F}_{2}.
Isso mostra que ambas se atraem com mesma magnitude.

Resposta

(a)
\mathbf{F}_{2} =\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\, \mathbf{v}_{2}\times\bigl(\mathbf{v}_{1}\times\hat{\mathbf{r}}\bigr).
(b)
\mathbf{F}_{1} =-\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\, \mathbf{v}_{1}\times\bigl(\mathbf{v}_{2}\times\hat{\mathbf{r}}\bigr),
com \hat{\mathbf{r}}'\!=\!-\hat{\mathbf{r}}. Em geral \mathbf{F}_{1}\neq-\mathbf{F}_{2}.
(c) Para movimentos paralelos lado a lado com \mathbf{v}_{1}=\mathbf{v}_{2}=\mathbf{v} e \mathbf{v}\perp\hat{\mathbf{r}},
\mathbf{F}_{2} =-\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\,v^{2}\,\hat{\mathbf{r}}, \quad \mathbf{F}_{1} =+\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\,v^{2}\,\hat{\mathbf{r}} =-\mathbf{F}_{2},
atração mútua.

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