1.5.18 Uma carga elétrica
movendo-se com velocidade
produz uma indução magnética
dada por
em que
aponta de
para o ponto em que
é medido (lei de Biot e Savart).
(a) Mostre que a força magnética sobre uma segunda carga
, velocidade
, é dada pelo produto vetorial triplo
(b) Escreva a força magnética correspondente
que
exerce sobre
. Defina seu vetor unitário radial. Como
e
se comparam?
(c) Calcule
e
para o caso de
e
se movimentarem ao longo de trajetórias paralelas lado a lado.
Resposta:
(b)
.
Em geral, não há nenhuma relação simples entre
and
. Especificamente, a terceira lei de Newton,
, não se aplica.
(c)
.
Atração mútua.
(a) Mostre que a força magnética sobre uma segunda carga
(c) Calcule
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado trata do campo magnético gerado por uma carga em movimento (Lei de Biot–Savart) e da força magnética que outra carga sofre (força de Lorentz). Temos
e a força magnética sobre
é
.
Para o item (b) aplicaremos o mesmo raciocínio invertendo os papéis das cargas, definindo o vetor unitário radial adequado; e no (c) usaremos a identidade do produto vetorial triplo
Para o item (b) aplicaremos o mesmo raciocínio invertendo os papéis das cargas, definindo o vetor unitário radial adequado; e no (c) usaremos a identidade do produto vetorial triplo
Passo 2
(a) Substituindo
na força de Lorentz para
:
Passo 3
(b) Para a força sobre
causada por
, definimos o vetor unitário que aponta de
para
como
.
O campo de em
é
O campo de
Logo
Passo 4
Em geral
e
não satisfazem
, pois envolvem produtos vetoriais triplos diferentes. Ou seja, a terceira lei de Newton no formato
não vale para forças magnéticas dependentes de velocidade.
Passo 5
(c) Agora suponha que
e
movem-se lado a lado com a mesma velocidade
e que
. Usando
têm-se
e
Isso mostra que ambas se atraem com mesma magnitude.
Resposta
(a)
(b)
com
. Em geral
.
(c) Para movimentos paralelos lado a lado com e
,
(c) Para movimentos paralelos lado a lado com
atração mútua.