1.5.18 Uma carga elétrica q1 movendo-se com velocidade v1 produz uma indução magnética B dada por
B=mu04 pi q1 v1 times rr^2 (unidades mks) ,
em que r aponta de q1 para o ponto em que B é medido (lei de Biot e Savart).
(a) Mostre que a força magnética sobre uma segunda carga q2, velocidade v2, é dada pelo produto vetorial triplo
F2=mu04 pi q1 q2r^2 v2 times(v1 times r)
(b) Escreva a força magnética correspondente F1 que q2 exerce sobre q1. Defina seu vetor unitário radial. Como F1 e F2 se comparam?
(c) Calcule F1 e F2 para o caso de q1 e q2 se movimentarem ao longo de trajetórias paralelas lado a lado.
Resposta:
(b) F1=-mu04 pi q1 q2r^2 v1 times(v2 times r).
Em geral, não há nenhuma relação simples entre
F1 and F2. Especificamente, a terceira lei de Newton, F1=-F2, não se aplica.
(c) F1=mu04 pi q1 q2r^2 v^2 r=-F2.
Atração mútua.

Passo 1

O enunciado trata do campo magnético gerado por uma carga em movimento (Lei de Biot–Savart) e da força magnética que outra carga sofre (força de Lorentz). Temos
B=mu04pi,q1,v1timesrr^2
e a força magnética sobre q2 é
F2=q2,v2timesB.
Para o item (b) aplicaremos o mesmo raciocínio invertendo os papéis das cargas, definindo o vetor unitário radial adequado; e no (c) usaremos a identidade do produto vetorial triplo
atimes(btimesc) =b,(acdotc) -c,(acdotb),

Passo 2

(a) Substituindo B na força de Lorentz para q2:
F2 =q2,v2timesB =q2,v2timesl(mu04pi,q1,v1timesrr^2r) =mu04pi,q1q2r^2, v2timesl(v1timesrr),

Passo 3

(b) Para a força sobre q1 causada por q2, definimos o vetor unitário que aponta de q2 para q1 como
r'=-r.
O campo de q2 em q1 é
B2 =mu04pi,q2,v2timesr'r^2 =-mu04pi,q2r^2, v2timesr
Logo
F1 =q1,v1timesB2 =-mu04pi,q1q2r^2, v1timesl(v2timesrr)

Passo 4

Em geral F1 e F2 não satisfazem F1=-F2, pois envolvem produtos vetoriais triplos diferentes. Ou seja, a terceira lei de Newton no formato F1=-F2 não vale para forças magnéticas dependentes de velocidade.

Passo 5

(c) Agora suponha que q1 e q2 movem-se lado a lado com a mesma velocidade v1=v2=v e que vperpr. Usando
vtimes(vtimesr) =v,(vcdotr) -r,(vcdotv) = -v^2,r,
têm-se
F2 =mu04pi,q1q2r^2, l(vtimes(vtimesr)r) =-mu04pi,q1q2r^2,v^2,r,
e
F1 =-mu04pi,q1q2r^2, l(vtimes(vtimesr)r) = +mu04pi,q1q2r^2,v^2,r =-F2
Isso mostra que ambas se atraem com mesma magnitude.

Resposta

(a)
F2 =mu04pi,q1q2r^2, v2timesl(v1timesrr)
(b)
F1 =-mu04pi,q1q2r^2, v1timesl(v2timesrr),
com r'!=!-r. Em geral F1neq-F2.
(c) Para movimentos paralelos lado a lado com v1=v2=v e vperpr,
F2 =-mu04pi,q1q2r^2,v^2,r, F1 =+mu04pi,q1q2r^2,v^2,r =-F2,
atração mútua.

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