1.5.5 O momento angular orbital L de uma partícula é dado por L=r times p=m r times v, em que p é o momento linear. Com as velocidades linear e angular relacionadas por v=omega times r, mostre que
L=m r^2[omega-r(r cdot omega)]
Aqui, widehatr é um vetor unitário na direção r. Para r cdot omega=0 isso se reduz a L=I omega, com o momento de inércia I dado por m r^2. Na Seção 3.5 esse resultado é generalizado para formar um tensor de inércia.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dadas
L = m,rtimesv
e
v = omegatimesr,
vale
L = m,r^2l[omega - r(rcdotomega)r]
O conteúdo principal aqui é usar a identidade do produto vetorial triplo.

Passo 2

Substituímos v em L:
L = m,rtimesv = m,rtimes(omegatimesr)

Passo 3

Aplicamos a identidade do produto vetorial triplo
atimes(btimesc) = b,(acdotc) - c,(acdotb)
com a=r, b=omega, c=r. Obtemos
rtimes(omegatimesr) = omega,(rcdotr) ;-;r,(rcdotomega)

Passo 4

Como rcdotr=r^2, fica
L = ml[r^2,omega - (rcdotomega),rr]

Passo 5

Escrevemos r=r,r, então
r,(rcdotomega)=r^2,r;(rcdotomega).
Fatorando m,r^2, obtemos exatamente
L = m,r^2l[omega - r(rcdotomega)r]

Resposta

boxedL = m,r^2l[omega - r(rcdotomega)r]

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