1.5.5 O momento angular orbital \mathbf{L} de uma partícula é dado por \mathbf{L}=\mathbf{r} \times \mathbf{p}=m \mathbf{r} \times \mathbf{v}, em que \mathbf{p} é o momento linear. Com as velocidades linear e angular relacionadas por \mathbf{v}=\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}, mostre que
\mathbf{L}=m r^{2}[\boldsymbol{\omega}-\hat{\mathbf{r}}(\hat{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\omega})]
Aqui, \widehat{\mathbf{r}} é um vetor unitário na direção \mathbf{r}. Para \mathbf{r} \cdot \boldsymbol{\omega}=0 isso se reduz a \mathbf{L}=I \boldsymbol{\omega}, com o momento de inércia I dado por m r^{2}. Na Seção 3.5 esse resultado é generalizado para formar um tensor de inércia.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dadas
\mathbf{L} = m\,\mathbf{r}\times\mathbf{v}
e
\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r},
vale
\mathbf{L} = m\,r^{2}\bigl[\boldsymbol{\omega} - \hat{\mathbf{r}}(\hat{\mathbf{r}}\cdot\boldsymbol{\omega})\bigr].
O conteúdo principal aqui é usar a identidade do produto vetorial triplo.

Passo 2

Substituímos \mathbf{v} em \mathbf{L}:
\mathbf{L} = m\,\mathbf{r}\times\mathbf{v} = m\,\mathbf{r}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}).

Passo 3

Aplicamos a identidade do produto vetorial triplo
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \mathbf{b}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) - \mathbf{c}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})
com \mathbf{a}=\mathbf{r}, \mathbf{b}=\boldsymbol{\omega}, \mathbf{c}=\mathbf{r}. Obtemos
\mathbf{r}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}) = \boldsymbol{\omega}\,(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}) \;-\;\mathbf{r}\,(\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\omega}).

Passo 4

Como \mathbf{r}\cdot\mathbf{r}=r^{2}, fica
\mathbf{L} = m\bigl[r^{2}\,\boldsymbol{\omega} - (\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\omega})\,\mathbf{r}\bigr].

Passo 5

Escrevemos \mathbf{r}=r\,\hat{\mathbf{r}}, então
\mathbf{r}\,(\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\omega})=r^{2}\,\hat{\mathbf{r}}\;(\hat{\mathbf{r}}\cdot\boldsymbol{\omega}).
Fatorando m\,r^{2}, obtemos exatamente
\mathbf{L} = m\,r^{2}\bigl[\boldsymbol{\omega} - \hat{\mathbf{r}}(\hat{\mathbf{r}}\cdot\boldsymbol{\omega})\bigr].

Resposta

\boxed{\mathbf{L} = m\,r^{2}\bigl[\boldsymbol{\omega} - \hat{\mathbf{r}}(\hat{\mathbf{r}}\cdot\boldsymbol{\omega})\bigr].}

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