Um vetor \mathbf{A} é decomposto em um vetor radial \mathbf{A}_{r} e um vetor tangencial \mathbf{A}_{t}. Se \hat{\mathbf{r}} for um vetor unitário na direção radial, mostre que
\mathbf{A}_{t}=-\hat{\mathbf{r}} \times(\hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{A}).

Passo 1

O enunciado fala de decompor um vetor \mathbf{A} em duas partes: a componente radial \mathbf{A}_{r} (na direção de \hat{\mathbf{r}}) e a componente tangencial \mathbf{A}_{t} (ortogonal a \hat{\mathbf{r}}). O objetivo é mostrar que
\mathbf{A}_{t} = -\,\hat{\mathbf{r}}\times\bigl(\hat{\mathbf{r}}\times\mathbf{A}\bigr).
Para isso, vamos usar (1) a definição de projeção de \mathbf{A} sobre \hat{\mathbf{r}} e (2) a identidade do produto vetorial triplo.

Passo 2

Definimos a componente radial pela projeção de \mathbf{A} em \hat{\mathbf{r}}:
\mathbf{A}_{r} = (\mathbf{A}\cdot\hat{\mathbf{r}})\,\hat{\mathbf{r}}.
Como a tangencial é a parte restante de \mathbf{A}, temos
\mathbf{A}_{t} = \mathbf{A} - \mathbf{A}_{r} = \mathbf{A} - (\mathbf{A}\cdot\hat{\mathbf{r}})\,\hat{\mathbf{r}}.

Passo 3

Usamos a identidade do produto vetorial triplo
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \mathbf{b}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) \;-\;\mathbf{c}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}).
Escolhendo \mathbf{a}=\hat{\mathbf{r}}, \mathbf{b}=\hat{\mathbf{r}} e \mathbf{c}=\mathbf{A}, vem
\hat{\mathbf{r}}\times\bigl(\hat{\mathbf{r}}\times\mathbf{A}\bigr) = \hat{\mathbf{r}}\,(\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}) \;-\;\mathbf{A}.

Passo 4

Multiplicando a igualdade acima por -1, obtemos
-\,\hat{\mathbf{r}}\times\bigl(\hat{\mathbf{r}}\times\mathbf{A}\bigr) = \mathbf{A} \;-\;\hat{\mathbf{r}}\,(\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}) = \mathbf{A}_{t},
que coincide exatamente com a expressão de \mathbf{A}_{t} obtida no Passo 2.

Resposta

\boxed{\mathbf{A}_{t} = -\,\hat{\mathbf{r}}\times\bigl(\hat{\mathbf{r}}\times\mathbf{A}\bigr).}

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