Um vetor A é decomposto em um vetor radial Ar e um vetor tangencial At. Se r for um vetor unitário na direção radial, mostre que
At=-r times(r times A).

Passo 1

O enunciado fala de decompor um vetor A em duas partes: a componente radial Ar (na direção de r) e a componente tangencial At (ortogonal a r). O objetivo é mostrar que
At = -,rtimesl(rtimesAr)
Para isso, vamos usar (1) a definição de projeção de A sobre r e (2) a identidade do produto vetorial triplo.

Passo 2

Definimos a componente radial pela projeção de A em r:
Ar = (Acdotr),r
Como a tangencial é a parte restante de A, temos
At = A - Ar = A - (Acdotr),r

Passo 3

Usamos a identidade do produto vetorial triplo
atimes(btimesc) = b,(acdotc) ;-;c,(acdotb)
Escolhendo a=r, b=r e c=A, vem
rtimesl(rtimesAr) = r,(rcdotA) ;-;A

Passo 4

Multiplicando a igualdade acima por -1, obtemos
-,rtimesl(rtimesAr) = A ;-;r,(rcdotA) = At,
que coincide exatamente com a expressão de At obtida no Passo 2.

Resposta

boxedAt = -,rtimesl(rtimesAr)

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