Um vetor \mathbf{A} é decomposto em um vetor radial \mathbf{A}_{r} e um vetor tangencial \mathbf{A}_{t}. Se \hat{\mathbf{r}} for um vetor unitário na direção radial, mostre que
\mathbf{A}_{r}=\hat{\mathbf{r}}(\mathbf{A} \cdot \hat{\mathbf{r}}) \mathrm{e}

Passo 1

O enunciado pede para decompor um vetor \mathbf{A} em componentes radial e tangencial e, em particular, mostrar que a componente radial \mathbf{A}_{r} pode ser escrita em função de \mathbf{A} e do vetor unitário radial \hat{\mathbf{r}}. Para isso vamos usar o conceito de projeção de um vetor numa direção.

Passo 2

Como \mathbf{A}_{r} está inteiramente na direção de \hat{\mathbf{r}}, podemos escrever
\mathbf{A}_{r} = \alpha\,\hat{\mathbf{r}},
onde \alpha é um escalar. Fazendo o produto escalar de ambos os lados com \hat{\mathbf{r}}, obtemos
\mathbf{A}\cdot\hat{\mathbf{r}} = \mathbf{A}_{r}\cdot\hat{\mathbf{r}} = (\alpha\,\hat{\mathbf{r}})\cdot\hat{\mathbf{r}} =\alpha\,(\hat{\mathbf{r}}\cdot\hat{\mathbf{r}}) =\alpha,
pois \hat{\mathbf{r}}\cdot\hat{\mathbf{r}}=1. Logo \alpha = \mathbf{A}\cdot\hat{\mathbf{r}}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{A}_{r} = \hat{\mathbf{r}}\bigl(\mathbf{A}\cdot\hat{\mathbf{r}}\bigr)

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