Como, às vezes, é possível identificar uma função f conhecendo f^{\prime} e o valor de f em um ponto x=x_{0} ? Exemplifique.

Passo 1

O enunciado pergunta como podemos determinar totalmente uma função f quando sabemos sua derivada f' e o valor de f em um ponto x=x_{0}. O conteúdo principal aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos permite recuperar f a partir de f' mais uma condição inicial.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se f' for contínua num intervalo que contenha x_{0}, vale:
f(x)-f(x_{0})=\int_{x_{0}}^{x}f'(t)\,dt.
Logo,
f(x)=f(x_{0})+\int_{x_{0}}^{x}f'(t)\,dt.
Essa é a expressão geral de f em função de sua derivada e do valor inicial f(x_{0}).

Passo 3

Exemplo concreto: suponha que
f'(x)=2x
e que tenhamos a condição inicial
f(1)=3.
Então aplicamos diretamente:
f(x)=3+\int_{1}^{x}2t\,dt.

Passo 4

Calculando a integral do passo anterior:
\int_{1}^{x}2t\,dt=\bigl[t^{2}\bigr]_{1}^{x}=x^{2}-1.
Substituindo em f(x), obtemos
f(x)=3+(x^{2}-1)=x^{2}+2.

Resposta

Exemplo: para f'(x)=2x e f(1)=3, a função fica
f(x)=x^{2}+2.

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