(U. F. Viçosa-MG) Uma pessoa deposita uma quantia em dinheiro na caderneta de poupança. Sabendo-se que o montante na conta, após t meses, é dado por M(t)=C cdot 2^0,01 t, onde C é uma constante positiva, o tempo mínimo para duplicar a quantia depositada é:
a) 6 anos e 8 meses.
b) 7 anos e 6 meses.
c) 8 anos e 4 meses.
d) 9 anos e 3 meses.
e) 10 anos e 2 meses.

Passo 1

O enunciado diz que o montante após t meses é
M(t)=Ccdot2^0,01,t,
onde C é a quantia inicial. Queremos o tempo mínimo t para que M(t)=2C, ou seja, duplicar o depósito. Vamos resolver uma equação exponencial usando logaritmos.

Passo 2

Começamos impondo
2C = Ccdot2^0,01,t
Como C>0, podemos dividir ambos os lados por C, obtendo
2 = 2^0,01,t

Passo 3

Para isolar t, aplicamos o logaritmo de base 2 em ambos os lados:
log22 = log2l(2^0,01,tr)
Isso dá
1 = 0,01,t,
pois log22=1 e log2(2^x)=x.

Passo 4

Da equação 1=0,01,t segue
t = 10,01 = 100
ou seja, t=100 meses.

Passo 5

Agora convertendo 100 meses em anos e meses:
100div 12 = 8 anos (resto 4 meses),
pois 8times12=96 meses e 100-96=4 meses.

Resposta

c) 8 anos e 4 meses.

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