2- Uma caldeira industrial fornece, a cada minuto, uma quantidade de calor igual a 2,0 \times 10^{\wedge} 9 \mathrm{~J} para um ciclo a vapor. O condensador desse sistema rejeita ao ambiente 1,5 \times 10^{\wedge} 9 \mathrm{~J} no mesmo intervalo de tempo.
Determine:
a) O trabalho líquido produzido pela máquina térmica por minuto.
b) O rendimento térmico da máquina.

Passo 1

O enunciado dá as quantidades de calor por minuto fornecidas e rejeitadas, e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos: Q_h = 2,0 \times 10^{9}\\ \mathrm{J\;/\;min}
Q_c = 1,5 \times 10^{9}\\ \mathrm{J\;/\;min}
(peguei esses valores do enunciado)
  • Perguntas:
    (a) Determinar o trabalho líquido produzido pela máquina por minuto.
    (b) Determinar o rendimento térmico da máquina.

Passo 2

Conceito útil (explicação passo a passo): para uma máquina térmica cíclica, a energia que entra como calor ( Q_h) menos a energia rejeitada como calor ( Q_c) é a energia disponível para fazer trabalho. Em símbolos:
W_{\text{líq}} = Q_h - Q_cí
Aqui:
  • W_{\text{líq}}í é o trabalho líquido por minuto (o que queremos em (a));
  • Q_h é o calor fornecido pela caldeira por minuto;
  • Q_c é o calor rejeitado pelo condensador por minuto.

Passo 3

Vamos calcular o trabalho líquido usando a fórmula acima. Substituindo os números:
W_{\text{líq}} = 2,0\times10^{9} - 1,5\times10^{9}í
Para subtrair em notação científica fatoramos 10^{9}:
W_{\text{líq}} = (2,0 - 1,5)\times10^{9} = 0,5\times10^{9}í
Convertendo 0,5\times10^{9} para uma potência com coeficiente entre 1 e 10:
0,5\times10^{9} = 5,0\times10^{8}
Portanto o trabalho líquido por minuto é 5,0\times10^{8}\\ \mathrm{J\;/\;min}.

Passo 4

Agora o rendimento térmico (eficiência) — explicação do conceito: o rendimento é a fração do calor fornecido que é transformada em trabalho. Em fórmula:
\eta = \frac{W_{\text{líq}}}{Q_h}í
Também é comum usar a forma equivalente, obtida substituindo W_{\text{líq}}=Q_h-Q_cí:
\eta = 1 - \frac{Q_c}{Q_h}
Onde:
  • \eta é adimensional (frequentemente dado em porcentagem);
  • dividir por Q_h normaliza o trabalho em relação ao calor recebido.

Passo 5

Vamos calcular \eta usando as duas formas para ficar bem claro.
Usando \eta = \dfrac{W_{\text{líq}}}{Q_h}í com o W_{\text{líq}}í encontrado:
\eta = \frac{5,0\times10^{8}}{2,0\times10^{9}}
Dividindo os coeficientes e subtraindo expoentes:
\eta = \frac{5,0}{2,0}\times10^{8-9} = 2{,}5\times10^{-1} = 0{,}25
Convertendo para porcentagem:
\eta = 0{,}25 = 25\%
Verificação rápida usando \eta = 1 - \dfrac{Q_c}{Q_h}:
\frac{Q_c}{Q_h} = \frac{1,5\times10^{9}}{2,0\times10^{9}} = \frac{1,5}{2,0} = 0{,}75
\eta = 1 - 0{,}75 = 0{,}25 = 25\%
Ambas as formas dão o mesmo resultado, ótimo — isso confirma que o cálculo está coerente.

Resposta

(a) W_{\text{líq}} = 5,0 \times 10^{8}\\ \mathrm{J\;/\;min}í
(b) \eta = 0{,}25 = 25\%

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