\text{o função a integrar é } \frac{1}{(t^{2}+1)(t-1)^{2}}.
Pergunta: encontrar uma primitiva (ou expressão para a integral indefinida) desta função, incluindo a constante de integração.
Passo 2
Escolhemos decompor a função em frações parciais antes de integrar. Motivo: o denominador é um produto de um quadrático irreduzível \left(t^{2}+1\right) e um fator linear repetido (t-1)^{2}. Para esse tipo de produto a técnica padrão é escrever a decomposição com termos para cada fator, incluindo termo separado para a potência repetida.
Passo 3
Escrevemos a forma geral da decomposição em frações parciais:
onde A, B, C e D são constantes a determinar. Explicando por que: para cada fator linear (t-1) de multiplicidade 2 incluímos termos \dfrac{A}{t-1}+\dfrac{B}{(t-1)^2}; para o quadrático irreduzível t^{2}+1 usamos um numerador linear Ct+D.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por (t^{2}+1)(t-1)^{2} para obter uma identidade polinomial:
1 = A(t-1)(t^{2}+1)+B(t^{2}+1)+(Ct+D)(t-1)^{2}.
Agora vamos expandir cada termo cuidadosamente.
Passo 5
Expandindo termo a termo:
(t-1)(t^{2}+1)=t^{3}-t^{2}+t-1,
portanto
A(t-1)(t^{2}+1)=A t^{3}-A t^{2}+A t - A.
Além disso,
B(t^{2}+1)=B t^{2}+B.
E, como
(t-1)^{2}=t^{2}-2t+1,
temos
(Ct+D)(t-1)^{2}=C t^{3}+(-2C+D)t^{2}+(C-2D)t+D.
Passo 6
Somando todos os termos obtidos e agrupando por potências de t temos:
1=(A+C)t^{3}+(-A+B-2C+D)t^{2}+(A+C-2D)t+(-A+B+D).
Essa expressão deve ser igual ao polinômio constante 1, que é 0t^{3}+0t^{2}+0t+1. Assim obtemos o sistema de equações para A,B,C,D: