(e) \left(1,5\right. ponto) \int \frac{d t}{\left(t^{2}+1\right)(t-1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral
\int \frac{dt}{\left(t^{2}+1\right)(t-1)^{2}}.
Informações dadas:
\text{o função a integrar é } \frac{1}{(t^{2}+1)(t-1)^{2}}.çãé
Pergunta: encontrar uma primitiva (ou expressão para a integral indefinida) desta função, incluindo a constante de integração.

Passo 2

Escolhemos decompor a função em frações parciais antes de integrar. Motivo: o denominador é um produto de um quadrático irreduzível \left(t^{2}+1\right) e um fator linear repetido (t-1)^{2}. Para esse tipo de produto a técnica padrão é escrever a decomposição com termos para cada fator, incluindo termo separado para a potência repetida.

Passo 3

Escrevemos a forma geral da decomposição em frações parciais:
\frac{1}{(t^{2}+1)(t-1)^{2}}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{(t-1)^{2}}+\frac{Ct+D}{t^{2}+1},
onde A, B, C e D são constantes a determinar. Explicando por que: para cada fator linear (t-1) de multiplicidade 2 incluímos termos \dfrac{A}{t-1}+\dfrac{B}{(t-1)^2}; para o quadrático irreduzível t^{2}+1 usamos um numerador linear Ct+D.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por (t^{2}+1)(t-1)^{2} para obter uma identidade polinomial:
1 = A(t-1)(t^{2}+1)+B(t^{2}+1)+(Ct+D)(t-1)^{2}.
Agora vamos expandir cada termo cuidadosamente.

Passo 5

Expandindo termo a termo:
(t-1)(t^{2}+1)=t^{3}-t^{2}+t-1,
portanto
A(t-1)(t^{2}+1)=A t^{3}-A t^{2}+A t - A.
Além disso,
B(t^{2}+1)=B t^{2}+B.
E, como
(t-1)^{2}=t^{2}-2t+1,
temos
(Ct+D)(t-1)^{2}=C t^{3}+(-2C+D)t^{2}+(C-2D)t+D.

Passo 6

Somando todos os termos obtidos e agrupando por potências de t temos:
1=(A+C)t^{3}+(-A+B-2C+D)t^{2}+(A+C-2D)t+(-A+B+D).
Essa expressão deve ser igual ao polinômio constante 1, que é 0t^{3}+0t^{2}+0t+1. Assim obtemos o sistema de equações para A,B,C,D:
\begin{cases} A+C=0,\\\\ -A+B-2C+D=0,\\\ A+C-2D=0,\\\\ -A+B+D=1. \end{cases}

Passo 7

Resolvendo o sistema passo a passo. Da primeira equação A+C=0 obtemos
C=-A.
Substituindo em A+C-2D=0 (terceira equação) fica
A+(-A)-2D=0 \Rightarrow -2D=0 \Rightarrow D=0.
Com C=-A e D=0, a segunda equação -A+B-2C+D=0 vira
-A+B-2(-A)+0=0 \Rightarrow -A+B+2A=0 \Rightarrow B=-A.
Finalmente a quarta equação -A+B+D=1 com B=-A e D=0
-A+(-A)+0=1 \Rightarrow -2A=1 \Rightarrow A=-\tfrac{1}{2}.
Então:
A=-\tfrac{1}{2},\quad B=-A=\tfrac{1}{2},\quad C=-A=\tfrac{1}{2},\quad D=0.

Passo 8

Substituindo os coeficientes na decomposição obtemos:
\frac{1}{(t^{2}+1)(t-1)^{2}}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{t-1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(t-1)^{2}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{t}{t^{2}+1}.
Agora integramos termo a termo:
\int \frac{dt}{(t^{2}+1)(t-1)^{2}}=-\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t-1}+\frac{1}{2}\int\frac{dt}{(t-1)^{2}}+\frac{1}{2}\int\frac{t\,dt}{t^{2}+1}.

Passo 9

Calculamos cada integral separadamente, explicando as fórmulas usadas:
  1. \displaystyle \int\frac{dt}{t-1}=\ln\lvert t-1\rvert. (Fórmula básica: integral de 1/u é \ln|u|.)
  2. \displaystyle \int\frac{dt}{(t-1)^{2}}=\int (t-1)^{-2}dt=\frac{(t-1)^{-1}}{-1}=-\frac{1}{t-1}. (Usamos potência: \int u^{n}du=\frac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.)
  3. \displaystyle \int\frac{t\,dt}{t^{2}+1}. Faça a substituição u=t^{2}+1, então du=2t\,dt, logo \int \frac{t\,dt}{t^{2}+1}=\frac{1}{2}\ln(t^{2}+1).

Passo 10

Colocando tudo junto e multiplicando pelos coeficientes:
\int \frac{dt}{(t^{2}+1)(t-1)^{2}}=-\frac{1}{2}\ln\lvert t-1\rvert+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{t-1}\right)+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\ln(t^{2}+1)+C.
Simplificando:
\int \frac{dt}{(t^{2}+1)(t-1)^{2}}=-\frac{1}{2}\ln\lvert t-1\rvert-\frac{1}{2(t-1)}+\frac{1}{4}\ln(t^{2}+1)+C.

Resposta

-\dfrac{1}{2}\ln\lvert t-1\rvert-\dfrac{1}{2(t-1)}+\dfrac{1}{4}\ln(t^{2}+1)+C

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