Caleule \int_{\alpha} \vec{F} \cdot d \vec{\alpha}, onde \vec{F}(x, y, z)=\left(2 x z^{3}+y, x^{2} y^{2}, 3 x^{2} z^{2}\right) e \alpha é a interserção de z=4 e x^{2}+y^{2}=16. O sentido de percurso de \alpha é tal que sua projeção no plano xy é percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados:
  • Pede calcular a integral de linha \displaystyle\int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\vec{\alpha}.
  • O campo vetorial é \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=\bigl(2xz^{3}+y,\;x^{2}y^{2},\;3x^{2}z^{2}\bigr).
  • A curva \alpha é a interseção das superfícies \displaystyle z=4 e \displaystyle x^{2}+y^{2}=16. Ou seja, \alpha é um círculo de raio 4 no plano z=4.
  • O sentido de percurso é tal que a projeção no plano xy é percorrida no sentido anti-horário (sentido positivo usual).
    Nada mais foi pedido além de calcular a integral de linha ao longo dessa curva com essa orientação.

Passo 2

Parametrização da curva \alpha e justificativa da orientação:
  • Um parâmetro natural para o círculo de raio 4 é t. Tomando-a no sentido anti-horário (projeção no plano xy crescendo em t):
\vec{r}(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)=\bigl(4\cos t,\;4\sin t,\;4\bigr), \qquad 0\le t\le 2\pi.
  • Essa parametrização percorre a projeção no plano xy no sentido anti-horário quando t aumenta de 0 a 2\pi, portanto tem a orientação pedida.

Passo 3

Calcular d\vec{r} (o vetor diferencial da curva):
\vec{r}\,'(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=\bigl(-4\sin t,\;4\cos t,\;0\bigr),
portanto
d\vec{r}=\vec{r}\,'(t)\,dt=\bigl(-4\sin t,\;4\cos t,\;0\bigr)\,dt.

Passo 4

Avaliar \vec{F} ao longo da curva (substituir x=4\cos t, y=4\sin t, z=4):
  • Primeiro calcular potências de z: z^{3}=4^{3}=64 e z^{2}=4^{2}=16.
  • Componentes de \vec{F} na curva:
\begin{aligned} F_{1}(t)&=2x z^{3}+y=2(4\cos t)(64)+(4\sin t)=128\cdot 4\cos t+4\sin t=512\cos t+4\sin t,\\[4pt] F_{2}(t)&=x^{2}y^{2}=(4\cos t)^{2}(4\sin t)^{2}=16\cos^{2}t\cdot 16\sin^{2}t=256\cos^{2}t\sin^{2}t,\\[4pt] F_{3}(t)&=3x^{2}z^{2}=3(4\cos t)^{2}\cdot 16=3\cdot 16\cos^{2}t\cdot 16=768\cos^{2}t. \end{aligned}
  • Observação útil: como dz=0 ao longo da curva ( z constante), a componente F_{3} não contribuirá para o produto escalar \vec{F}\cdot d\vec{r}.]

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{F}\cdot d\vec{r} explicitamente:
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t) =F_{1}(t)\cdot (-4\sin t)+F_{2}(t)\cdot(4\cos t)+F_{3}(t)\cdot 0.
Substituindo F_{1} e F_{2}:
\begin{aligned} \vec{F}\cdot\vec{r}\,'(t) &=(512\cos t+4\sin t)(-4\sin t)+\bigl(256\cos^{2}t\sin^{2}t\bigr)(4\cos t)\\[4pt] &=-2048\cos t\sin t-16\sin^{2}t+1024\cos^{3}t\sin^{2}t. \end{aligned}
Portanto a integral de linha torna-se
\int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\vec{\alpha} =\int_{0}^{2\pi}\bigl(-2048\cos t\sin t-16\sin^{2}t+1024\cos^{3}t\sin^{2}t\bigr)\,dt.]

Passo 6

Avaliar a integral, separando em três termos:
I=\int_{0}^{2\pi}-2048\cos t\sin t\,dt \quad II=\int_{0}^{2\pi}-16\sin^{2}t\,dt \quad III=\int_{0}^{2\pi}1024\cos^{3}t\sin^{2}t\,dt.
  • Cálculo de I:
    Usar \cos t\sin t=\tfrac{1}{2}\sin 2t. Então
I=-2048\int_{0}^{2\pi}\cos t\sin t\,dt=-2048\cdot\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin 2t\,dt=-1024\left[ -\tfrac{1}{2}\cos 2t\right]_{0}^{2\pi}=0,
pois \sin 2t tem período \pi e integral zero em um múltiplo inteiro de períodos (ou avaliando os limites diretamente).
  • Cálculo de II:
    Usar identidade \sin^{2}t=\tfrac{1-\cos 2t}{2}. Então
II=-16\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\,dt=-16\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos 2t}{2}\,dt=-8\left[ t-\tfrac{1}{2}\sin 2t\right]_{0}^{2\pi}=-8(2\pi-0)=-16\pi.
  • Cálculo de III:
    Reescrever \cos^{3}t\sin^{2}t=\cos^{3}t(1-\cos^{2}t)=\cos^{3}t-\cos^{5}t. Assim
III=1024\int_{0}^{2\pi}\bigl(\cos^{3}t-\cos^{5}t\bigr)\,dt.
As funções \cos^{3}t e \cos^{5}t são funções pares com potências ímpares de cosseno; seus integrals sobre um período completo [0,2\pi] são zero (simples argumento de simetria ou usar identidades de redução). Portanto
III=0.

Passo 7

Somando os três termos:
\int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\vec{\alpha}=I+II+III=0+(-16\pi)+0=-16\pi.

Resposta

-16\pi

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