Caleule
, onde
e
é a interserção de
e
. O sentido de percurso de
é tal que sua projeção no plano xy é percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados:
- Pede calcular a integral de linha
. - O campo vetorial é
. - A curva
é a interseção das superfícies e . Ou seja, é um círculo de raio no plano . - O sentido de percurso é tal que a projeção no plano
é percorrida no sentido anti-horário (sentido positivo usual).
Nada mais foi pedido além de calcular a integral de linha ao longo dessa curva com essa orientação.
Passo 2
Parametrização da curva
e justificativa da orientação:
- Um parâmetro natural para o círculo de raio
é . Tomando-a no sentido anti-horário (projeção no plano crescendo em ):
- Essa parametrização percorre a projeção no plano
no sentido anti-horário quando aumenta de a , portanto tem a orientação pedida.
Passo 3
Calcular
(o vetor diferencial da curva):
portanto
Passo 4
Avaliar
ao longo da curva (substituir
,
,
):
- Primeiro calcular potências de
: e . - Componentes de
na curva:
- Observação útil: como
ao longo da curva ( constante), a componente não contribuirá para o produto escalar .]
Passo 5
Calcular o produto escalar
explicitamente:
Substituindo
e
:
Portanto a integral de linha torna-se
Passo 6
Avaliar a integral, separando em três termos:
- Cálculo de
:
Usar. Então
pois
tem período
e integral zero em um múltiplo inteiro de períodos (ou avaliando os limites diretamente).
- Cálculo de
:
Usar identidade. Então
- Cálculo de
:
Reescrever. Assim
As funções
e
são funções pares com potências ímpares de cosseno; seus integrals sobre um período completo
são zero (simples argumento de simetria ou usar identidades de redução). Portanto
Passo 7
Somando os três termos: