Nos Problemas 1-16, determine a série de Fourier de f no intervalo indicado. f(x)=\left\{\begin{array}{rr}0, & -\pi<x<0 \\\\ 1, & 0 \leq x<\pi\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá a função periódica (no intervalo indicado -\pi<x<\pi\)):
\[f(x)=\begin{cases} 0, & -\pi<x<0,\\[4pt] 1, & 0\le x<\pi. \end{cases}
O que é pedido: determinar a série de Fourier de f\] no intervalo \((-\pi,\pi).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função vale 0 para x negativos (entre -\pi e 0) e vale 1 para x não-negativos (entre 0 e \pi).
A série de Fourier que vamos encontrar é a expansão periódica de período 2\pi baseada em (-\pi,\pi).
Não há outros dados numéricos; portanto usaremos as fórmulas usuais de coeficientes de Fourier para funções em (-\pi,\pi).]
Passo 2
Vamos começar lembrando a forma geral da série de Fourier de uma função f em (-\pi,\pi). A expansão é
a_0 é o coeficiente de ordem zero; \dfrac{a_0}{2} é a constante média da série.
a_n multiplica \cos(nx); b_n multiplica \sin(nx).
O índice n é um inteiro positivo que indica as harmônicas (frequências) da série.
Essas fórmulas vêm da ortogonalidade das funções trigonométricas em (-\pi,\pi). Agora vamos calcular a_0, a_n e b_n usando a definição da função f.
Passo 3
Cálculo de a_0. Pelo fórmula com n=0,
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx.
Como f(x)=0 em (-\pi,0) e f(x)=1 em [0,\pi), a integral se reduz a
Como apenas os b_n com n ímpar são não-nulos, escrevemos a soma sobre n=2k+1 (com k=0,1,2,\dots). Para n=2k+1 vale b_{2k+1}=\dfrac{2}{(2k+1)\pi}. Assim
Comentário sobre convergência (útil para a prova): a série de Fourier de uma função com descontinuidades converge para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade. Aqui f tem uma descontinuidade em x=0 (e nas bordas periódicas x=\pm\pi); portanto em x=0 (e em x=\pm\pi) a série converge para a média \dfrac{0+1}{2}=\dfrac{1}{2}. Para x em (0,\pi) a série converge para 1 e para x em (-\pi,0) converge para 0.