Nos Problemas 1-16, determine a série de Fourier de f no intervalo indicado.
f(x)=\left\{\begin{array}{rr}0, & -\pi<x<0 \\\\ 1, & 0 \leq x<\pi\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função periódica (no intervalo indicado -\pi<x<\pi\)): \[f(x)=\begin{cases} 0, & -\pi<x<0,\\[4pt] 1, & 0\le x<\pi. \end{cases}
O que é pedido: determinar a série de Fourier de f\] no intervalo \((-\pi,\pi).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função vale 0 para x negativos (entre -\pi e 0) e vale 1 para x não-negativos (entre 0 e \pi).
  • A série de Fourier que vamos encontrar é a expansão periódica de período 2\pi baseada em (-\pi,\pi).
  • Não há outros dados numéricos; portanto usaremos as fórmulas usuais de coeficientes de Fourier para funções em (-\pi,\pi).]

Passo 2

Vamos começar lembrando a forma geral da série de Fourier de uma função f em (-\pi,\pi). A expansão é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde os coeficientes são dados por
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\quad(n=0,1,2,\dots)
e
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\quad(n=1,2,\dots).
Explicando cada símbolo:
  • a_0 é o coeficiente de ordem zero; \dfrac{a_0}{2} é a constante média da série.
  • a_n multiplica \cos(nx); b_n multiplica \sin(nx).
  • O índice n é um inteiro positivo que indica as harmônicas (frequências) da série.
    Essas fórmulas vêm da ortogonalidade das funções trigonométricas em (-\pi,\pi). Agora vamos calcular a_0, a_n e b_n usando a definição da função f.

Passo 3

Cálculo de a_0. Pelo fórmula com n=0,
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx.
Como f(x)=0 em (-\pi,0) e f(x)=1 em [0,\pi), a integral se reduz a
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} 1\,dx=\frac{1}{\pi}\bigl[x\bigr]_{0}^{\pi}=\frac{1}{\pi}\cdot\pi=1.
Portanto o termo constante da série é \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge 1. Pela definição,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx.
De novo a contribuição vem apenas de 0 a \pi, onde f(x)=1. Assim
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
Agora calculamos a integral. Uma primitiva de \cos(nx) é \dfrac{\sin(nx)}{n}. Então
a_n=\frac{1}{\pi}\left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi}=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\sin(n\pi)-\sin(0)}{n}.
Como \sin(n\pi)=0 para todo inteiro n e \sin(0)=0, segue
a_n=0\qquad\text{para todo }n\ge 1.

Passo 5

Cálculo de b_n para n\ge 1. Pela definição,
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx,
pois f=0 em (-\pi,0). A primitiva de \sin(nx) é -\dfrac{\cos(nx)}{n}. Assim
b_n=\frac{1}{\pi}\left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi}=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{-\cos(n\pi)+\cos(0)}{n}.
Sabendo que \cos(0)=1 e \cos(n\pi)=(-1)^n, obtemos
b_n=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1-(-1)^n}{n}=\frac{1-(-1)^n}{n\pi}.
Agora interpretamos esse resultado pelo caso par/ímpar:
  • Se n é par então (-1)^n=1 e b_n=0.
  • Se n é ímpar então (-1)^n=-1 e b_n=\dfrac{1-(-1)}{n\pi}=\dfrac{2}{n\pi}.
Portanto
b_n=\begin{cases} 0, & n\text{ par},\\[4pt] \dfrac{2}{n\pi}, & n\text{ ímpar}. \end{cases}í]

Passo 6

Montando a série com os coeficientes calculados. Lembrando que a_n=0 para n\ge1 e a_0/2=1/2, temos
f(x)\sim \frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(nx).
Como apenas os b_n com n ímpar são não-nulos, escrevemos a soma sobre n=2k+1 (com k=0,1,2,\dots). Para n=2k+1 vale b_{2k+1}=\dfrac{2}{(2k+1)\pi}. Assim
f(x)\sim \frac{1}{2}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2}{(2k+1)\pi}\sin\bigl((2k+1)x\bigr).
Fatorando \dfrac{2}{\pi}, uma forma muito comum de escrever é
f(x)\sim \frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2k+1)x\bigr)}{2k+1}.

Passo 7

Comentário sobre convergência (útil para a prova): a série de Fourier de uma função com descontinuidades converge para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade. Aqui f tem uma descontinuidade em x=0 (e nas bordas periódicas x=\pm\pi); portanto em x=0 (e em x=\pm\pi) a série converge para a média \dfrac{0+1}{2}=\dfrac{1}{2}. Para x em (0,\pi) a série converge para 1 e para x em (-\pi,0) converge para 0.

Resposta

f(x)=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2k+1)x\bigr)}{2k+1}.

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