Caleute à integral da função F(x, y)=(6 x y-2 y^2) imath+(3 x^2-4 x y+3 y^2) jmath sobre o segmento de reta com início em (1,0) e término em (-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função vetorial $ \vec{F}(x, y) = \left(6xy - 2y^{2}\right) \vec{\imath} + \left(3x^{2} - 4xy + 3y^{2}\right) \vec{\jmath} $ e precisamos calcular a integral dessa função ao longo de um segmento de reta que vai do ponto $ (1, 0) $ até o ponto $ (-1, 2) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integral de linha em cálculo vetorial. A integral de linha nos permite somar os efeitos de um campo vetorial ao longo de um caminho específico. Vamos seguir passo a passo para entender como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar o caminho que vamos seguir, ou seja, descrever a reta que vai de $ (1, 0) $ até $ (-1, 2) $ de uma forma que possamos integrar. Uma maneira comum de fazer isso é usar um parâmetro $ t $ que varia de 0 a 1.
Vamos definir:
(1, 0)
(-1, 2)
Aqui, quando $ t = 0 $, temos $ x(0) = 1 $ e $ y(0) = 0 $, que corresponde ao ponto inicial $ (1, 0) $. Quando $ t = 1 $, $ x(1) = -1 $ e $ y(1) = 2 $, que é o ponto final $ (-1, 2) $. Assim, cobrimos todo o segmento de reta conforme $ t $ varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, precisamos calcular os diferenciais $ dx $ e $ dy $ em termos de $ t $. Isso é importante porque vamos substituir esses diferenciais na integral de linha.
Derivando $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $:
dx
dy
Então, os diferenciais são:
t
x(t)

Passo 4

Agora, vamos substituir $ x(t) $ e $ y(t) $ na função $ \vec{F}(x, y) $ para obter $ \vec{F}(t) $. Isso significa substituir $ x $ por $ 1 - 2t $ e $ y $ por $ 2t $ na expressão da função vetorial.
Vamos calcular cada componente:
Para a componente $ \vec{\imath} $:
x(t)
Para a componente $ \vec{\jmath} $:
y(t)
F(x, y)
F(t)
x
Então, $ \vec{F}(t) = (12t - 32t^{2}) \vec{\imath} + (3 - 20t + 40t^{2}) \vec{\jmath} $.

Passo 5

Agora, precisamos calcular o produto escalar $ \vec{F}(t) \cdot \vec{dr} $, onde $ \vec{dr} = dx , \vec{\imath} + dy , \vec{\jmath} $.
Substituindo $ dx = -2 , dt $ e $ dy = 2 , dt $:
F(t) cdot dr
Então, o produto escalar fica:
dr = dx , imath + dy , jmath
Vamos calcular cada termo:
dx = -2 , dt
dy = 2 , dt
Somando os dois resultados:
dr = (-2 , dt) imath + (2 , dt) jmath
Então, $ \vec{F}(t) \cdot \vec{dr} = (6 - 64t + 144t^{2}) , dt $.

Passo 6

Finalmente, vamos integrar a expressão obtida de $ t = 0 $ a $ t = 1 $:
t = 0
Vamos integrar termo a termo:
t = 1
integral0^1 (6 - 64t + 144t^2) , dt
integral0^1 6 , dt = 6t |0^1 = 6(1) - 6(0) = 6
Agora, somamos todos os resultados:
integral0^1 -64t , dt = -64 cdot t^22 |0^1 = -32t^2 |0^1 = -32(1) + 32(0) = -32

Resposta

A integral da função $ \vec{F}(x, y) $ ao longo do segmento de reta de $ (1, 0) $ até $ (-1, 2) $ é igual a 22.

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