Caleute à integral da função
sobre o segmento de reta com início em
e término em
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função vetorial $ \vec{F}(x, y) = \left(6xy - 2y^{2}\right) \vec{\imath} + \left(3x^{2} - 4xy + 3y^{2}\right) \vec{\jmath} $ e precisamos calcular a integral dessa função ao longo de um segmento de reta que vai do ponto $ (1, 0) $ até o ponto $ (-1, 2) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integral de linha em cálculo vetorial. A integral de linha nos permite somar os efeitos de um campo vetorial ao longo de um caminho específico. Vamos seguir passo a passo para entender como fazer isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar o caminho que vamos seguir, ou seja, descrever a reta que vai de $ (1, 0) $ até $ (-1, 2) $ de uma forma que possamos integrar. Uma maneira comum de fazer isso é usar um parâmetro $ t $ que varia de 0 a 1.
Vamos definir:
Aqui, quando $ t = 0 $, temos $ x(0) = 1 $ e $ y(0) = 0 $, que corresponde ao ponto inicial $ (1, 0) $. Quando $ t = 1 $, $ x(1) = -1 $ e $ y(1) = 2 $, que é o ponto final $ (-1, 2) $. Assim, cobrimos todo o segmento de reta conforme $ t $ varia de 0 a 1.
Passo 3
Agora, precisamos calcular os diferenciais $ dx $ e $ dy $ em termos de $ t $. Isso é importante porque vamos substituir esses diferenciais na integral de linha.
Derivando $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $:
Então, os diferenciais são:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ x(t) $ e $ y(t) $ na função $ \vec{F}(x, y) $ para obter $ \vec{F}(t) $. Isso significa substituir $ x $ por $ 1 - 2t $ e $ y $ por $ 2t $ na expressão da função vetorial.
Vamos calcular cada componente:
Para a componente $ \vec{\imath} $:
Para a componente $ \vec{\jmath} $:
Então, $ \vec{F}(t) = (12t - 32t^{2}) \vec{\imath} + (3 - 20t + 40t^{2}) \vec{\jmath} $.
Passo 5
Agora, precisamos calcular o produto escalar $ \vec{F}(t) \cdot \vec{dr} $, onde $ \vec{dr} = dx , \vec{\imath} + dy , \vec{\jmath} $.
Substituindo $ dx = -2 , dt $ e $ dy = 2 , dt $:
Então, o produto escalar fica:
Vamos calcular cada termo:
Somando os dois resultados:
Então, $ \vec{F}(t) \cdot \vec{dr} = (6 - 64t + 144t^{2}) , dt $.
Passo 6
Finalmente, vamos integrar a expressão obtida de $ t = 0 $ a $ t = 1 $:
Vamos integrar termo a termo:
Agora, somamos todos os resultados:
Resposta
A integral da função $ \vec{F}(x, y) $ ao longo do segmento de reta de $ (1, 0) $ até $ (-1, 2) $ é igual a 22.