Se P=(raiz2, raiz6,-2 raiz2) em coordenadas cartesianas, como se escreve esse mesmo ponto em coordenadas esíéricas (r, theta, mathscrtheta) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente transformar as coordenadas cartesianas do ponto $ P = (\sqrt{2}, \sqrt{6}, -2\sqrt{2}) $ para as coordenadas esféricas $ (r, \theta, \phi) $. Vamos precisar usar as fórmulas de conversão entre esses sistemas de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, temos que encontrar o valor de $ r $, que representa a distância do ponto até a origem. A fórmula para $ r $ é:
r
Substituindo os valores:
r

Passo 3

Agora, vamos calcular o ângulo $ \theta $, que é o ângulo entre o vetor posição e o eixo $ z $. A fórmula para $ \theta $ é:
theta
Substituindo os valores:
z

Passo 4

Por último, vamos encontrar o ângulo $ \phi $, que é o ângulo no plano $ xy $ a partir do eixo $ x $. A fórmula para $ \phi $ é:
phi
Substituindo os valores:
xy

Resposta

As coordenadas esféricas do ponto $ P $ são $ (4, \frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{3}) $.

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