Simplifique e faça o estudo de sinal:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
e depois estudar o sinal do resultado. O conteúdo aqui envolve fatoração (diferença de cubos) e análise de uma função quadrática.
Passo 2
Vamos fatorar o numerador usando a identidade
. Tomando
e
, temos:
Passo 3
Agora desenvolvendo o termo entre parênteses para escrever em função de
e
:
Portanto o numerador é
.
Passo 4
Como dividimos pelo mesmo
(e lembrando que
porque não podemos dividir por zero), a expressão simplifica-se para:
Passo 5
Para estudar o sinal de
como função de
com parâmetro
, notamos que é uma quadrática de coeficiente líder positivo
. O discriminante é
Como
e
, essa quadrática não tem raízes reais e está sempre acima de zero.
Passo 6
Logo, a expressão simplificada vale
, está definida para todo
(com
) e satisfaz