Simplifique e faça o estudo de sinal:
[(x+h)^3-x^3]h

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão (x+h)^3 - x^3h e depois estudar o sinal do resultado. O conteúdo aqui envolve fatoração (diferença de cubos) e análise de uma função quadrática.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador usando a identidade a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). Tomando a = x+h e b = x, temos:
(x+h)^3 - x^3 = l((x+h)-xr)l((x+h)^2 + x(x+h) + x^2r) = hl((x+h)^2 + x(x+h) + x^2r)

Passo 3

Agora desenvolvendo o termo entre parênteses para escrever em função de x e h:
(x+h)^2 + x(x+h) + x^2 = (x^2 + 2xh + h^2) + (x^2 + xh) + x^2 = 3x^2 + 3xh + h^2
Portanto o numerador é h(3x^2 + 3xh + h^2).

Passo 4

Como dividimos pelo mesmo h (e lembrando que h neq 0 porque não podemos dividir por zero), a expressão simplifica-se para:
(x+h)^3 - x^3h = 3x^2 + 3xh + h^2

Passo 5

Para estudar o sinal de 3x^2 + 3xh + h^2 como função de x com parâmetro hneq0, notamos que é uma quadrática de coeficiente líder positivo a=3>0. O discriminante é
De
Como De e a>0, essa quadrática não tem raízes reais e está sempre acima de zero.

Passo 6

Logo, a expressão simplificada vale 3x^2+3xh+h^2, está definida para todo xin R (com hneq0) e satisfaz
3x^2 + 3xh + h^2 > 0 para todo x e hneq0

Resposta

(x+h)^3 - x^3h = 3x^2 + 3xh + h^2, que é positiva para todo xin R desde que hneq0.

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