Uma calha deve ser construída com uma folha de aço, de largura
e comprimento
. Se a seção transversal da calha é um trapézio isósceles, qual deve ser a largura da base e a inclinação das faces para que sua capacidade seja máxima?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre construir uma calha usando uma folha de aço com largura $ a $ e comprimento $ b $. A seção transversal da calha é um trapézio isósceles. A pergunta é: qual deve ser a largura da base e a inclinação das faces para que a capacidade da calha seja máxima?
Aqui, a matéria envolvida é geometria e otimização. Precisamos entender como um trapézio isósceles funciona e como podemos maximizar sua área (que representa a capacidade da calha) dado o material disponível.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o trapézio isósceles que representa a seção transversal da calha. Um trapézio isósceles tem duas bases paralelas (a base maior e a base menor) e os lados não paralelos (as faces) são de mesmo comprimento e inclinados igualmente.
Vamos chamar:
- $ x $ de largura da base menor,
- $ y $ da largura da base maior,
- $ \theta $ do ângulo de inclinação das faces em relação à base maior.
Passo 3
Como a largura da folha de aço é $ a $ e comprimento $ b $, a área total de material disponível para formar a seção transversal é $ a \times b $. Essa área será usada para formar as duas bases e as duas faces do trapézio.
A área da folha pode ser distribuída nas partes do trapézio:
- Duas bases: base menor ($ x
y $), - Duas faces inclinadas, que têm comprimento igual a $ l $.
Então, a área total usada será:
E como $ A_{total} $ deve ser igual à área da folha de aço:
Passo 4
Precisamos relacionar $ l $ e $ \theta $. Observando o trapézio isósceles, podemos usar trigonometria. Se a altura do trapézio é $ h $, então:
Além disso, a diferença entre as bases é distribuída igualmente nas duas faces:
Isso nos dá:
Passo 5
Agora, substituímos $ y $ na equação da área total:
Simplificando:
Podemos fatorar 2h:
Passo 6
Queremos maximizar a capacidade da calha, ou seja, a área da seção transversal do trapézio:
Substituindo $ y = x + 2h \cot \theta $:
Passo 7
Vamos agora expressar $ x $ em termos de $ h $ e $ \theta $ a partir da equação da área total:
Resolvendo para $ x $:
Passo 8
Substituímos $ x $ na expressão da área $ A $:
Simplificando:
Passo 9
Para maximizar $ A $ em relação a $ h $ e $ \theta $, derivamos $ A $ em relação a $ h $ e igualamos a zero:
Resolvendo para $ h $:
Passo 10
Substituímos $ h $ de volta na expressão para $ x $:
Simplificando:
Passo 11
Para maximizar a área, devemos encontrar o valor de $ \theta $ que maximiza $ A $. Observando a expressão simplificada, percebemos que o máximo ocorre quando $ \theta = 45^\circ $. Isso porque, para $ \theta = 45^\circ $, as funções trigonométricas atingem um equilíbrio que maximiza a área.
Resposta
A largura da base menor deve ser $ x = \frac{a \times b}{2} $ e as faces devem ser inclinadas em $ \theta = 45^\circ $ para que a capacidade da calha seja máxima.