Determine o máximo e o mínimo de
no conjunto
dado:
no conjunto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar o máximo e o mínimo da função $ g(x, y) = x^{2} + 2xy - 4x + 8y $ no conjunto $ D = \left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid -10 \leq x \leq 10, \quad 0 \leq y \leq 10\right} $. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais, para encontrar os pontos onde a função pode atingir seus valores extremos dentro desse intervalo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função dentro do domínio $ D $. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais da função $ g $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Resolvendo a segunda equação para $ x $:
Substituindo $ x = -4 $ na primeira equação:
Então, temos um ponto crítico em $ (-4, 6) $.
Passo 4
Vamos verificar se esse ponto crítico está dentro do conjunto $ D $. Sabemos que $ -10 \leq x \leq 10 $ e $ 0 \leq y \leq 10 $. Como $ x = -4 $ está entre -10 e 10, e $ y = 6 $ está entre 0 e 10, o ponto $ (-4, 6) $ está dentro do domínio $ D $.
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor de $ g $ nesse ponto crítico:
Passo 6
Além do ponto crítico, precisamos verificar os valores de $ g $ nas bordas do domínio $ D $ para garantir que não há valores maiores ou menores lá. Vamos avaliar $ g $ nos pontos onde $ x $ e $ y $ estão nos limites:
- Quando $ x = -10 $ e $ y $ varia de 0 a 10:
Esse valor é máximo quando $ y = 0 $: $ g(-10, 0) = 140 $ e mínimo quando $ y = 10 $: $ g(-10, 10) = 140 - 120 = 20 $.
- Quando $ x = 10 $ e $ y $ varia de 0 a 10:
Esse valor é mínimo quando $ y = 0 $: $ g(10, 0) = 60 $ e máximo quando $ y = 10 $: $ g(10, 10) = 60 + 280 = 340 $.
- Quando $ y = 0 $ e $ x $ varia de -10 a 10:
O mínimo ocorre no vértice da parábola, que é em $ x = 2 $:
E os valores nas extremidades já foram calculados anteriormente.
- Quando $ y = 10 $ e $ x $ varia de -10 a 10:
O mínimo ocorre no vértice da parábola, que é em $ x = -8 $:
E os valores nas extremidades já foram calculados anteriormente.
Resposta
O máximo de $ g $ no conjunto $ D $ é 340, atingido no ponto $ (10, 10) $, e o mínimo é -4, atingido no ponto $ (2, 0) $.