Determine o máximo e o mínimo de g no conjunto D dado:
g(x, y)=x^2+2 x y-4 x+8 y no conjunto D=(x, y) in R^2 /-10 <= x <= 10, 0 <= y <= 10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar o máximo e o mínimo da função $ g(x, y) = x^{2} + 2xy - 4x + 8y $ no conjunto $ D = \left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid -10 \leq x \leq 10, \quad 0 \leq y \leq 10\right} $. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais, para encontrar os pontos onde a função pode atingir seus valores extremos dentro desse intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função dentro do domínio $ D $. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais da função $ g $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
D
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
g

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
2x + 2y - 4 = 0 2x + 8 = 0
Resolvendo a segunda equação para $ x $:
x
Substituindo $ x = -4 $ na primeira equação:
2x + 8 = 0 Rightarrow 2x = -8 Rightarrow x = -4
Então, temos um ponto crítico em $ (-4, 6) $.

Passo 4

Vamos verificar se esse ponto crítico está dentro do conjunto $ D $. Sabemos que $ -10 \leq x \leq 10 $ e $ 0 \leq y \leq 10 $. Como $ x = -4 $ está entre -10 e 10, e $ y = 6 $ está entre 0 e 10, o ponto $ (-4, 6) $ está dentro do domínio $ D $.

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor de $ g $ nesse ponto crítico:
g

Passo 6

Além do ponto crítico, precisamos verificar os valores de $ g $ nas bordas do domínio $ D $ para garantir que não há valores maiores ou menores lá. Vamos avaliar $ g $ nos pontos onde $ x $ e $ y $ estão nos limites:
  1. Quando $ x = -10 $ e $ y $ varia de 0 a 10:
g
Esse valor é máximo quando $ y = 0 $: $ g(-10, 0) = 140 $ e mínimo quando $ y = 10 $: $ g(-10, 10) = 140 - 120 = 20 $.
  1. Quando $ x = 10 $ e $ y $ varia de 0 a 10:
D
Esse valor é mínimo quando $ y = 0 $: $ g(10, 0) = 60 $ e máximo quando $ y = 10 $: $ g(10, 10) = 60 + 280 = 340 $.
  1. Quando $ y = 0 $ e $ x $ varia de -10 a 10:
g
O mínimo ocorre no vértice da parábola, que é em $ x = 2 $:
x
E os valores nas extremidades já foram calculados anteriormente.
  1. Quando $ y = 10 $ e $ x $ varia de -10 a 10:
y
O mínimo ocorre no vértice da parábola, que é em $ x = -8 $:
x = -10
E os valores nas extremidades já foram calculados anteriormente.

Resposta

O máximo de $ g $ no conjunto $ D $ é 340, atingido no ponto $ (10, 10) $, e o mínimo é -4, atingido no ponto $ (2, 0) $.

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