Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
z=x^2-y^2-2 x, (0,0,0)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície definida por z = x^2 - y^2 - 2x no ponto (0,0,0). O conteúdo aqui é derivadas parciais e o conceito de plano tangente a um gráfico de função de duas variáveis, que satisfaz

Passo 2

Para construir o plano tangente a um gráfico z = f(x,y) no ponto (x0,y0,z0), usamos a fórmula
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=x^2 - y^2 - 2x:
- fx(x,y) = partialpartial x(x^2 - y^2 - 2x) = 2x - 2
- fy(x,y) = partialpartial y(x^2 - y^2 - 2x) = -2y

Passo 3

No ponto (0,0) temos
  • fx(0,0) = 2cdot0 - 2 = -2
  • fy(0,0) = -2cdot0 = 0

Passo 4

Substituindo na fórmula do plano tangente com (x0,y0,z0)=(0,0,0):
z - 0 = (-2),(x - 0) + 0,(y - 0)
Isso simplifica para
z = -2x

Resposta

z = -2x

Exercícios relacionados