O calor específico da água é de 1 \mathrm{cal} \mathrm{g}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} na faixa de temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C} a 75^{\circ} \mathrm{C} a 1 atm .
a) Calcule a variação de entropia quando 100 gramas de água são aquecidas de 25^{\circ} \mathrm{C} a 75^{\circ} \mathrm{C} a 1 \mathrm{~atm} .\left[\mathrm{R}=64,9 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1}\right]
b) Sem fazer cálculos, preveja se a variação de entropia no aquecimento da mesma massa de água de 50 para 75^{\circ} \mathrm{C} a 1 atm será maior, igual ou menor a calculada no item a). Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Calor específico da água c = 1\\ \mathrm{cal}\\ \mathrm{g}^{-1}\\ \mathrm{K}^{-1} na faixa 25^\circ\mathrm{C} a 75^\circ\mathrm{C} (a 1 atm).
  • Massa de água m = 100\\ \mathrm{g}.
  • Pedidos:
    (a) Calcular a variação de entropia ao aquecer de 25^\circ\mathrm{C} a 75^\circ\mathrm{C}.
    (b) Sem fazer cálculos, prever se a variação de entropia ao aquecer 50^\circ\mathrm{C} a 75^\circ\mathrm{C} (mesma massa) será maior, igual ou menor que a do item (a), e justificar.
Informações numéricas úteis (serão usadas nos passos seguintes):
  • Converter temperaturas para Kelvin: 25^\circ\mathrm{C} e 75^\circ\mathrm{C}.
  • Converter calor específico em unidades SI (J/K): 1\\ \mathrm{cal}=4{,}186\\ \mathrm{J}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Para um aquecimento reversível a pressão constante, a variação de entropia de uma substância é
\Delta S=\int_{i}^{f}\frac{\d Q_{\text{rev}}}{T}.
  • Se o processo for aquecimento sem mudança de fase e com calor específico (à pressão ou massa) aproximadamente constante, o calor reversível trocado é \d Q_{\text{rev}}=C\,\d T, onde:
    • C é a capacidade térmica do sistema (unidade: \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}),
    • T é a temperatura absoluta em Kelvin.
  • Substituindo na integral:
\Delta S=\int_{T_1}^{T_2}\frac{C}{T}\,\d T.
  • Integrando (já que C é constante):
\Delta S = C\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Explicando as variáveis:
  • T_1 é a temperatura inicial em Kelvin,
  • T_2 é a temperatura final em Kelvin,
  • C é a capacidade térmica total do sistema (não o calor específico por unidade de massa).

Passo 3

Calcular a capacidade térmica total C da massa de água dada e converter para SI.
  • Calor específico por massa: c = 1\\ \mathrm{cal}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}.
  • Para m=100\\ \mathrm{g}, a capacidade térmica total em calorias por kelvin é
C_{\text{(cal/K)}}=m\,c = 100\cdot 1 = 100\\ \mathrm{cal}\,\mathrm{K}^{-1}.
  • Converter para joules por kelvin usando 1\\ \mathrm{cal}=4{,}186\\ \mathrm{J}:
C = 100\times 4{,}186\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1} = 418{,}6\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}.

Passo 4

Determinar T_1 e T_2 em Kelvin e aplicar a fórmula.
  • Temperaturas: T_1 = 25^\circ\mathrm{C} = 298{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_2 = 75^\circ\mathrm{C} = 348{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Aplicando
\Delta S = C\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) = 418{,}6\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\cdot \ln\!\left(\frac{348{,}15}{298{,}15}\right).

Passo 5

Avaliar numericamente o logaritmo e o produto (mostrando as contas passo a passo).
  • Razão de temperaturas:
\frac{T_2}{T_1}=\frac{348{,}15}{298{,}15}\approx 1{,}1678.
  • Logaritmo natural:
\ln(1{,}1678)\approx 0{,}1558.
  • Multiplicando por C:
\Delta S \approx 418{,}6\times 0{,}1558 \approx 65{,}2\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}.
Comentário prático: o valor experimental/teórico pode aparecer arredondado como 64{,}9\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1} dependendo da constante de conversão usada; usando 1\\ \mathrm{cal}=4{,}186\\ \mathrm{J} obtém-se aproximadamente 65{,}2\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}.

Passo 6

Resposta qualitativa do item (b) — previsão sem cálculos (explicação didática).
  • A variação de entropia para aquecimento com C constante é proporcional a \ln(T_2/T_1).
  • A função \ln(T_2/T_1) para um mesmo T_2 diminui quando T_1 aumenta (porque a razão T_2/T_1 fica mais perto de 1), e além disso o intervalo de temperatura de 50^\circ\mathrm{C} a 75^\circ\mathrm{C} é menor (25 K) do que de 25^\circ\mathrm{C} a 75^\circ\mathrm{C} (50 K).
  • Além disso, o integrando C/T é uma função decrescente de T (já que C>0 e 1/T diminui com T), logo aquecer a mesma massa em uma faixa mais alta de temperatura gera menos entropia por grau.
  • Conclusão: a variação de entropia ao aquecer de 50^\circ\mathrm{C} a 75^\circ\mathrm{C} será menor do que a variação calculada no item (a).

Resposta

a) \Delta S \approx 65{,}2\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}
b) menor

Exercícios relacionados