Um mol de um gás ideal com C_{v}=3 / 2 R sofre as transformações descritas na lista abaixo a partir de um estado inicial caracterizado por T=300 \mathrm{~K} e p=1,00 bar. Calcule q, w, \Delta U, \Delta H e \Delta S para cada processo.
O gás é aquecido até 450 K a uma pressão externa constante de 1,00 bar; \left[\mathrm{R}=-1,25 \mathrm{~kJ} ; 3,12 \mathrm{~kJ} ; 1,87 \mathrm{~kJ} ; 3,12 \mathrm{~kJ} ; 8,43 \mathrm{~J} \mathrm{~K} \mathrm{~K}^{-1}\right]

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede os valores indicados:
  • Quantidade de substância: n=1 mol (um mol).
  • Capacidade calorífica molar a volume constante: C_{v}=\tfrac{3}{2}R.
  • Estado inicial: T_{1}=300\\ \mathrm{K} e p_{1}=1{,}00\\ \mathrm{bar}.
  • Processo: o gás é aquecido até T_{2}=450\\ \mathrm{K} sob pressão externa constante p_{\text{ext}}=1{,}00\\ \mathrm{bar}.
  • Pedidos: calcular q,\;w,\;\Delta U,\;\Delta H,\;\Delta S para este processo.
Informações adicionais úteis (valores e conversões que usarei):
  • Constante dos gases: R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Conversão de pressão: 1{,}00\\ \mathrm{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Variação de temperatura: \Delta T=T_{2}-T_{1}=450-300=150\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Convenções e fórmulas fundamentais (explicação didática e sem pular passos).
  • Primeira lei da termodinâmica (convenção usada aqui): \Delta U = q + w,onde q é o calor trocado com o sistema (positivo se entra calor no sistema) e w é o trabalho feito sobre o sistema (positivo se trabalho é feito sobre o sistema).
  • Trabalho de expansão contra uma pressão externa constante: w = -\int p_{\text{ext}}\,dV = -p_{\text{ext}}\Delta V,pois p_{\text{ext}} é constante. A notação negativa aparece porque se o sistema expande ( \Delta V>0) faz trabalho sobre o entorno, e então w (trabalho sobre o sistema) fica negativo.
  • Lei dos gases ideais (para uma mol): pV = nRT \quad\Rightarrow\quad V=\frac{nRT}{p}.Assim, para pressão constante (externa) conhecida, a variação de volume pode ser obtida por \Delta V = \dfrac{nR\Delta T}{p_{\text{ext}}}.
  • Relação entre capacidades molares: C_{p} = C_{v} + R.Para C_{v}=\tfrac{3}{2}R temos C_{p}=\tfrac{5}{2}R.
  • Variação de energia interna para gás ideal (depende só de T): \Delta U = n C_{v} \Delta T.
  • Variação de entalpia para gás ideal (depende só de T): \Delta H = n C_{p} \Delta T.
  • Variação de entropia entre dois estados (função de estado): para gás ideal é conveniente usar \Delta S = nC_{p}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) - nR\ln\!\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right).Note que \Delta S depende apenas do estado inicial e final; não importa se o processo foi reversível ou não. Se p_{2}=p_{1}, o segundo termo se anula e \Delta S = nC_{p}\ln(T_{2}/T_{1}).

Passo 3

Cálculo de \Delta U (passo a passo e explicação do porquê).
  • Usando \Delta U = n C_{v} \Delta T e C_{v}=\tfrac{3}{2}R: \Delta U = 1\cdot\frac{3}{2}R\cdot(450-300)=\frac{3}{2}R\cdot150.
  • Simplificando: \Delta U = 225\,R.
  • Substituindo R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}: \Delta U = 225\times 8{,}314\\ \mathrm{J}=1\,870{,}65\\ \mathrm{J}\approx 1{,}87\\ \mathrm{kJ}.
Explicação curta: para gás ideal monatomic, a energia interna é proporcional à temperatura; aumentar T em 150\\ \mathrm{K} aumenta U em \tfrac{3}{2}R por mol por kelvin.

Passo 4

Cálculo do trabalho w (detalhando a obtenção de \Delta V).
  • Primeiro calcule \Delta V usando a lei dos gases em combinação com pressão externa constante: \Delta V = \frac{nR\Delta T}{p_{\text{ext}}}.
  • Converter p_{\text{ext}}=1{,}00\\ \mathrm{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}. Então \Delta V = \frac{1\cdot 8{,}314\cdot 150}{10^{5}}\\ \mathrm{m^{3}}=\frac{1\,247{,}1}{10^{5}}\\ \mathrm{m^{3}}=0{,}012471\\ \mathrm{m^{3}}.Observação: 0{,}012471\\ \mathrm{m^{3}}=12{,}471\\ \mathrm{L}.
  • Agora o trabalho: w = -p_{\text{ext}}\Delta V = -(10^{5}\\ \mathrm{Pa})\times 0{,}012471\\ \mathrm{m^{3}} = -1\,247{,}1\\ \mathrm{J}.
  • Em kJ: w \approx -1{,}247{,}1\\ \mathrm{J} = -1{,}25\\ \mathrm{kJ}.
Observação didática: também se pode obter diretamente w=-nR\Delta T quando se usa w=-p_{\text{ext}}\cdot(nR\Delta T/p_{\text{ext}}); esse é o mesmo resultado algebraicamente.

Passo 5

Cálculo do calor q usando a primeira lei (explicando o raciocínio).
  • Da primeira lei: \Delta U = q + w. Isolando q: q = \Delta U - w.
  • Substituindo os valores numéricos (usar as unidades consistentes, J): q = 1\,870{,}65\\ \mathrm{J} - (-1\,247{,}1\\ \mathrm{J}) = 3\,117{,}75\\ \mathrm{J}.
  • Em kJ: q \approx 3{,}12\\ \mathrm{kJ}.
Comentário didático: q ficou positivo porque o sistema recebeu calor; parte desse calor aumentou a energia interna e parte foi usada para realizar trabalho de expansão.

Passo 6

Cálculo de \Delta H (mostrando a relação com C_{p} e por que depende só de T).
  • Primeiro calcule C_{p}=C_{v}+R=\tfrac{3}{2}R+R=\tfrac{5}{2}R.
  • Usar \Delta H = n C_{p} \Delta T: \Delta H = 1\cdot\frac{5}{2}R\cdot 150 = 375\,R.
  • Substituindo R: \Delta H = 375\times 8{,}314\\ \mathrm{J}=3\,117{,}75\\ \mathrm{J}\approx 3{,}12\\ \mathrm{kJ}.
Explicação: para gás ideal a entalpia depende apenas da temperatura; por isso \Delta H é função apenas de \Delta T.

Passo 7

Cálculo de \Delta S (entropia) e justificativa da fórmula escolhida.
  • Usarei a expressão para variação de entropia de um gás ideal entre dois estados (T_{1},p_{1})\to(T_{2},p_{2}): \Delta S = nC_{p}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) - nR\ln\!\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right).
  • Aqui, após o processo o gás estará em equilíbrio à pressão p_{2}=p_{\text{ext}}=1{,}00\\ \mathrm{bar}. Como p_{1}=1{,}00\\ \mathrm{bar} também, segue p_{2}/p_{1}=1 e \ln(1)=0. Assim: \Delta S = nC_{p}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right).
  • Substituindo n=1 e C_{p}=\tfrac{5}{2}R: \Delta S = \frac{5}{2}R\ln\!\left(\frac{450}{300}\right)=\frac{5}{2}R\ln\!\left(1{,}5\right).
  • Numérico: \Delta S = 2{,}5\times 8{,}314 \times \ln(1{,}5) = 20{,}785\times 0{,}405465\approx 8{,}427\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Arredondando: \Delta S \approx 8{,}43\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Comentário didático: a entropia é uma função de estado; mesmo que o aquecimento tenha sido irreversível (pressão externa constante), \Delta S só depende dos estados inicial e final e pode ser calculada por qualquer caminho reversível conectando esses estados (a fórmula usada deriva desse caminho reversível).

Resposta

q = 3{,}12\\ \mathrm{kJ}\n
w = -1{,}25\\ \mathrm{kJ}\n
\Delta U = 1{,}87\\ \mathrm{kJ}\n
\Delta H = 3{,}12\\ \mathrm{kJ}\n
\Delta S = 8{,}43\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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