O calor específico do enxofre pode ser dado por: \mathrm{C}_{p}=15,2+2,68 \mathrm{~T}, onde \mathrm{C}_{p} é dado em J/gmol K e T em K. Converter de modo que \mathrm{C}_{\mathrm{p}} seja dado em cal/gmol { }^{\circ} \mathrm{F} e \mathrm{T}^{\circ} \mathrm{F}.

Passo 1

O enunciado fornece a capacidade calorífica do enxofre na forma
C_p = 15,2 + 2,68\,T
onde:
  • C_p está em \mathrm{J}\,/\,\mathrm{gmol}\,\mathrm{K};
  • T está em \mathrm{K}.
O que se pede:
  • converter a expressão para que C_p esteja em \mathrm{cal}\,/\,\mathrm{gmol}\,^\circ\mathrm{F} e a temperatura seja dada em ^\circ\mathrm{F}.

Passo 2

Anotar as relações de conversão que serão usadas (tudo em TeX):
  • conversão de energia:
1\\ \mathrm{cal} = 4{,}184\\ \mathrm{J}\quad\Rightarrow\quad 1\\ \mathrm{J}=\dfrac{1}{4{,}184}\\ \mathrm{cal}.
  • relação entre temperatura em Kelvin e Fahrenheit:
T_{^\circ F} = \dfrac{9}{5}\bigl(T_K - 273{,}15\bigr) + 32,
portanto a inversa (útil para substituir T_K em função de T_{^\circ F}) é
T_K = \dfrac{5}{9}\bigl(T_{^\circ F} - 32\bigr) + 273{,}15.

Passo 3

Entender como converter unidades de capacidade térmica: a unidade original é \mathrm{J}\,/\,\mathrm{gmol}\,\mathrm{K} e queremos \mathrm{cal}\,/\,\mathrm{gmol}\,^\circ\mathrm{F}. Há dois fatores a considerar:
  1. converter energia de \mathrm{J} para \mathrm{cal}, multiplicando por 1/4{,}184;
  2. converter a unidade de temperatura no denominador, de \mathrm{K} para ^\circ\mathrm{F}. como 1\\ \mathrm{K}=9/5\\ ^\circ\mathrm{F}, tem-se que
\frac{\text{energia}}{\mathrm{K}} = \frac{\text{energia}}{^\circ\mathrm{F}}\cdot\frac{^\circ\mathrm{F}}{\mathrm{K}}
e, portanto, para obter por ^\circ\mathrm{F} deve-se multiplicar por
\frac{dT_K}{dT_{^\circ F}}=\frac{5}{9}.
Logo o fator global que multiplica a expressão numérica é
f=\dfrac{1}{4{,}184}\cdot\dfrac{5}{9}=\dfrac{5}{9\cdot4{,}184}.

Passo 4

Aplicar a conversão à expressão original. Primeiro escrevo T_K em função de T_{^\circ F} e substituo:
C_p^{(\mathrm{J}/\mathrm{gmol}\,\mathrm{K})}=15{,}2+2{,}68\,T_K
com
T_K=\dfrac{5}{9}\bigl(T_{^\circ F}-32\bigr)+273{,}15.
Agora converto unidades usando o fator f:
C_p^{(\mathrm{cal}/\mathrm{gmol}\,^\circ\mathrm{F})} = f\Bigl(15{,}2+2{,}68\Bigl[\dfrac{5}{9}\bigl(T_{^\circ F}-32\bigr)+273{,}15\Bigr]\Bigr).

Passo 5

Simplificar a expressão passo a passo. Defino primeiro o valor numérico de f:
f=\dfrac{5}{9\cdot4{,}184}=\dfrac{5}{37{,}656}\approx 0{,}132796.
Multiplico os termos:
f\cdot15{,}2 \approx 15{,}2\cdot0{,}132796 \approx 2{,}0180.
f\cdot2{,}68 \approx 2{,}68\cdot0{,}132796 \approx 0{,}355787.
Então
C_p^{(\mathrm{cal}/\mathrm{gmol}\,^\circ\mathrm{F})} \approx 2{,}0180 + 0{,}355787\Bigl(\dfrac{5}{9}\bigl(T_{^\circ F}-32\bigr)+273{,}15\Bigr).

Passo 6

Distribuir e agrupar os termos em função de T_{^\circ F}:
  • coeficiente de T_{^\circ F}:
0{,}355787\cdot\dfrac{5}{9}\approx 0{,}355787\cdot0{,}5555556 \approx 0{,}197659.
  • termo constante vindo da substituição:
0{,}355787\cdot273{,}15 \approx 97{,}220,
e subtrai-se o termo -0{,}355787\cdot\dfrac{5}{9}\cdot32 que vale
0{,}197659\cdot32 \approx 6{,}3251.
Somando tudo:
\text{constante} = 2{,}0180 + 97{,}220 - 6{,}3251 \approx 92{,}9129.

Passo 7

Escrever a expressão final arredondada de forma clara (usar vírgula como separador decimal):
C_p \approx 92{,}913 + 0{,}197659\,T_{^\circ F}\quad\text{(em \(\mathrm{cal}\,/\,\mathrm{gmol}\,^\circ\mathrm{F}\), com \(T\) em \(^\circ\mathrm{F}\)).}

Resposta

C_p = 92{,}913 + 0{,}197659\,T_{^\circ F}\\ \\ (\mathrm{cal}\,/\,\mathrm{gmol}\,^\circ\mathrm{F})

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