O que é um grupo adimensional? Que combinação de r(m), s\left(m / s^{2}\right) e t(s) constitui um grupo adimensional?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, uma explicação do que é um grupo adimensional; segundo, encontrar qual combinação das variáveis r (unidade: \mathrm{m}), s (unidade: \mathrm{m/s^{2}}) e t (unidade: \mathrm{s}) resulta num grupo adimensional. Informações dadas:
  • r tem dimensão de comprimento: [r]=[L].
  • s tem dimensão de aceleração: [s]=[L\,T^{-2}].
  • t tem dimensão de tempo: [t]=[T].

Passo 2

O que é um grupo adimensional?
Um grupo adimensional (ou número adimensional, grupo \Pi) é uma combinação multiplicativa das variáveis do problema que resulta numa grandeza sem unidades — isto é, todas as dimensões (como comprimento, tempo, massa) se cancelam e sobra um número puro. Exemplos clássicos: número de Reynolds, Froude, etc. Matematicamente procuramos expoentes a,b,c tais que a combinação r^{a}s^{b}t^{c} seja adimensional.

Passo 3

Escrever a condição de anulamento das dimensões.
A dimensão da combinação r^{a}s^{b}t^{c} é:
[r^{a}s^{b}t^{c}] = [L]^{a}\,[L\,T^{-2}]^{b}\,[T]^{c} = [L]^{a+b}\,[T]^{-2b+c}.
Para que seja adimensional, os expoentes das dimensões devem ser zero:
\begin{cases} a + b = 0,\\[4pt] -2b + c = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema para os expoentes.
Das equações:
a = -b, \qquad c = 2b.
Isto mostra que os expoentes não são únicos: há uma família de soluções parametricamente dada por b livre e a=-b,\;c=2b. Mas todos os grupos adimensionais independentes são proporcionais entre si; basta escolher um valor conveniente para b (geralmente b=1) para obter um representante simples.

Passo 5

Escolher b=1 e escrever o grupo adimensional correspondente.
Com b=1 obtemos a=-1 e c=2. Logo a combinação é
\Pi = r^{-1} s^{1} t^{2} = \frac{s\,t^{2}}{r}.
Verificação rápida das dimensões:
\left[\frac{s\,t^{2}}{r}\right]=\frac{[L\,T^{-2}]\,[T]^{2}}{[L]}=[L\,T^{0}]/[L]=[1],
ou seja, é realmente adimensional.

Passo 6

Interpretação e formas equivalentes.
  • Qualquer múltiplo escalar desta expressão (por exemplo seu inverso) também é adimensional; por exemplo \dfrac{r}{s\,t^{2}} é o inverso adimensional.
  • Existe exatamente um grupo adimensional independentemente (grau de liberdade adimensional) neste conjunto de três variáveis, porque há duas dimensões fundamentais envolvidas ( L e T), então o número de grupos independentes é 3-2=1 (teorema de Buckingham).
  • Exemplo concreto: se s for a gravidade g, r um comprimento L e t um período T, então \dfrac{gT^{2}}{L} é o mesmo tipo de número adimensional que aparece em problemas de pêndulo.

Resposta

Um grupo adimensional é uma combinação de variáveis que resulta numa grandeza sem unidades (um número puro).
\displaystyle \frac{s\,t^{2}}{r}

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