O que é um grupo adimensional? Que combinação de
e
constitui um grupo adimensional?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, uma explicação do que é um grupo adimensional; segundo, encontrar qual combinação das variáveis
(unidade:
),
(unidade:
) e
(unidade:
) resulta num grupo adimensional. Informações dadas:
-
tem dimensão de comprimento: . -
tem dimensão de aceleração: . -
tem dimensão de tempo: .
Passo 2
O que é um grupo adimensional?
Um grupo adimensional (ou número adimensional, grupo ) é uma combinação multiplicativa das variáveis do problema que resulta numa grandeza sem unidades — isto é, todas as dimensões (como comprimento, tempo, massa) se cancelam e sobra um número puro. Exemplos clássicos: número de Reynolds, Froude, etc. Matematicamente procuramos expoentes
tais que a combinação
seja adimensional.
Um grupo adimensional (ou número adimensional, grupo
Passo 3
Escrever a condição de anulamento das dimensões.
A dimensão da combinação é:
A dimensão da combinação
Para que seja adimensional, os expoentes das dimensões devem ser zero:
Passo 4
Resolver o sistema para os expoentes.
Das equações:
Das equações:
Isto mostra que os expoentes não são únicos: há uma família de soluções parametricamente dada por
livre e
. Mas todos os grupos adimensionais independentes são proporcionais entre si; basta escolher um valor conveniente para
(geralmente
) para obter um representante simples.
Passo 5
Escolher
e escrever o grupo adimensional correspondente.
Com obtemos
e
. Logo a combinação é
Com
Verificação rápida das dimensões:
ou seja, é realmente adimensional.
Passo 6
Interpretação e formas equivalentes.
- Qualquer múltiplo escalar desta expressão (por exemplo seu inverso) também é adimensional; por exemplo
é o inverso adimensional. - Existe exatamente um grupo adimensional independentemente (grau de liberdade adimensional) neste conjunto de três variáveis, porque há duas dimensões fundamentais envolvidas (
e ), então o número de grupos independentes é (teorema de Buckingham). - Exemplo concreto: se
for a gravidade , um comprimento e um período , então é o mesmo tipo de número adimensional que aparece em problemas de pêndulo.
Resposta
Um grupo adimensional é uma combinação de variáveis que resulta numa grandeza sem unidades (um número puro).