O calor específico de uma substância varia com a temperatura de acordo com a equação: c(T)=0,20+0,14 T+0,027 T^2, com Tem ^circ C e c em cal / g cdot K. Determine a energia necessária para aumentar a temperatura de 2,0 g desta substância de 5,00^circ C para 20,0^circ C.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o calor específico de uma substância muda com a temperatura segundo
c(T)=0,20 + 0,14,T + 0,027,T^2
com Q = m integralT1^T2 c(T),dT em °C e em cal/(g·K). A gente tem 2,0 g desse material e quer aquecer de 5,00 °C até 20,0 °C.
Isso cai em calorimetria com calor específico variável, e o que vamos precisar é usar uma integral para calcular a energia:

Passo 2

Teoria na prática: quando Q = m integral5^20 l(0,20 + 0,14,T + 0,027,T^2r),dT depende de , não usamos . Em vez disso, lembramos que calor é a área embaixo da curva vs. , multiplicada pela massa:

Passo 3

Vamos achar a antiderivada de integral l(0,20 + 0,14,T + 0,027,T^2r),dT = 0,20,T + 0,142,T^2 + 0,0273,T^3 = 0,20,T + 0,07,T^2 + 0,009,T^3 :

Passo 4

Agora avaliamos entre 5 e 20:
F(T)=0,20,T + 0,07,T^2 + 0,009,T^3
Calculando em F(20)=0,20cdot20 + 0,07cdot20^2 + 0,009cdot20^3 =4 + 28 + 72 = 104 :
F(5)=0,20cdot5 + 0,07cdot5^2 + 0,009cdot5^3 =1 + 1,75 + 1,125 = 3,875
Em De:
A diferença é

Passo 5

Multiplicando pela massa Q = 2,0 times 100,125 = 200,25 cal g:

Resposta

A energia necessária é aproximadamente cal (ou 200 cal).

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