Tempo necessário para o lago congelar. Quando a temperatura do ar é 0^circ C, a água da superfície de um lago congela e forma uma camada de gelo. Mostre que a espessura y da camada de gelo da superfície do lago é proporcional à raiz quadrada do tempo, ou seja, mostre que: y=C raizt, onde C=raiz2 k De.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, conforme o lago vai congelando, a espessura da camada de gelo y = C raizt, cresce como a raiz quadrada do tempo C = raiz2,k,De, isto é
onde
O assunto aqui é troca de calor por condução (Lei de Fourier) e calor latente de fusão (formação de gelo). Para resolver, vamos precisar:
  • Entender calor latente ( ) e massa de gelo formada.
  • A Lei de Fourier pra condução em regime estacionário (fluxo de calor através do gelo).
  • Montar a equação que relaciona calor retirado por condução com o calor necessário pra formar mais gelo.
  • Resolver uma equação diferencial simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar dois conceitos:
  1. Calor latente de fusão Q = m,LF é a energia que precisa ser retirada para congelar 1 kg de água. Se formamos uma camada de gelo de massa dQdt = k,A,De, a energia total retirada é
  1. Pela Lei de Fourier, o fluxo de calor (energia por unidade de tempo) que passa pela camada de gelo de espessura e área é
onde é a condutividade térmica do gelo e a diferença de temperatura entre a água congelando ( ) e o ar lá em cima (negativo).

Passo 3

Agora, massa de gelo m = rho,A,y é densidade vezes volume:
dQ = LF,dm = LF,rho,A,dy
Então o calor latente para formar essa massa crescendo de dQdt = LF,rho,A,dydt para em um tempo é
Logo, a taxa de variação desse calor é

Passo 4

Nesse instante, tudo o que sai de calor por condução vira gelo, então igualamos as duas expressões de LF,rho,A,dydt ;=;k,A,De:
dydt = k,De
Cancelamos a área y,dy = k,De (ela aparece dos dois lados) e isolamos :
Isso é uma equação diferencial separável:

Passo 5

Basta integrar dos dois lados, lembrando que no início ( integral0^y y',dy' = integral0^t k,De) a espessura y = raiz2,k,De é zero:
Isolando , vem

Resposta

boxedy = C,raizt, C = raiz2,k,De

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