Tempo necessário para o lago congelar. Quando a temperatura do ar é
, a água da superfície de um lago congela e forma uma camada de gelo. Mostre que a espessura
da camada de gelo da superfície do lago é proporcional à raiz quadrada do tempo, ou seja, mostre que:
, onde
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, conforme o lago vai congelando, a espessura da camada de gelo
cresce como a raiz quadrada do tempo
, isto é
onde
O assunto aqui é troca de calor por condução (Lei de Fourier) e calor latente de fusão (formação de gelo). Para resolver, vamos precisar:
- Entender calor latente (
) e massa de gelo formada. - A Lei de Fourier pra condução em regime estacionário (fluxo de calor através do gelo).
- Montar a equação que relaciona calor retirado por condução com o calor necessário pra formar mais gelo.
- Resolver uma equação diferencial simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar dois conceitos:
- Calor latente de fusão
é a energia que precisa ser retirada para congelar 1 kg de água. Se formamos uma camada de gelo de massa , a energia total retirada é
- Pela Lei de Fourier, o fluxo de calor (energia por unidade de tempo) que passa pela camada de gelo de espessura
e área é
onde
é a condutividade térmica do gelo e
a diferença de temperatura entre a água congelando (
) e o ar lá em cima (negativo).
Passo 3
Agora, massa de gelo
é densidade vezes volume:
Então o calor latente para formar essa massa crescendo de
para
em um tempo
é
Logo, a taxa de variação desse calor é
Passo 4
Nesse instante, tudo o que sai de calor por condução vira gelo, então igualamos as duas expressões de
:
Cancelamos a área
(ela aparece dos dois lados) e isolamos
:
Isso é uma equação diferencial separável:
Passo 5
Basta integrar dos dois lados, lembrando que no início (
) a espessura
é zero:
Isolando
, vem