O calor extraído de um refrigerador
e o trabalho realizado nele
podem ser definidos como
onde
refere-se a uma integral sobre um ciclo completo, na direção horária. A razão entre as duas grandezas define o coeficiente de rendimento do refrigerador
). Aplique essa definição e calcule o coeficiente em um refrigerador de Carnot para um gás ideal monoatômico.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre o coeficiente de desempenho de um refrigerador, que é uma medida de quão eficiente um refrigerador é ao transferir calor. A gente vai usar conceitos de termodinâmica, especificamente o ciclo de Carnot, que é um ciclo teórico ideal para máquinas térmicas. Precisamos calcular esse coeficiente para um refrigerador de Carnot usando um gás ideal monoatômico. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ciclo de Carnot. Ele é composto por quatro processos reversíveis:
- Compressão isotérmica (temperatura constante) na alta temperatura $ T_H $.
- Compressão adiabática (sem troca de calor), reduzindo a temperatura para $ T_L $.
- Expansão isotérmica na baixa temperatura $ T_L $.
- Expansão adiabática, voltando à temperatura $ T_H $.
Nesse ciclo, o refrigerador absorve calor $ Q_{in} $ da região fria e realiza trabalho $ W_{in} $.
Passo 3
O coeficiente de desempenho (COP) do refrigerador é dado por:
Onde:
- $ Q_{in} $ é o calor retirado da região fria.
- $ W_{in} $ é o trabalho realizado pelo refrigerador.
Nosso objetivo é expressar o COP em termos das temperaturas $ T_H $ e $ T_L $.
Passo 4
No ciclo de Carnot, a eficiência térmica $ \eta $ de uma máquina térmica é:
Mas como estamos lidando com um refrigerador, que é basicamente uma máquina térmica operando ao contrário, podemos relacionar o COP com a eficiência.
Passo 5
Sabemos que para um refrigerador, a relação entre a eficiência térmica e o COP é:
Essa fórmula mostra que o COP depende apenas das temperaturas das regiões quente e fria.
Passo 6
Como estamos lidando com um gás ideal monoatômico, a expressão do COP do ciclo de Carnot permanece válida, já que o comportamento do gás ideal monoatômico segue as leis da termodinâmica aplicadas no ciclo de Carnot.
Resposta
O coeficiente de desempenho do refrigerador de Carnot para um gás ideal monoatômico é dado por: