Ciclos de Carnot A e B operam com a mesma substância e retiram suas energias térmicas do mesmo reservatório a alta temperatura. Os dois ciclos começa a operar ocupando diferentes volumes. Durante a expansão isotérmica, o ciclo A dobra seu colume e o ciclo B triplica seu volume. Se o ciclo A realiza o dobro do trabalho do ciclo B, qual dos ciclos é o mais eficiente e por quanto?

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos dois ciclos de Carnot, A e B, que usam a mesma substância e retiram energia do mesmo reservatório de alta temperatura. Durante a expansão isotérmica, o ciclo A dobra seu volume, enquanto o ciclo B triplica. Além disso, o ciclo A realiza o dobro do trabalho que o ciclo B faz. Nosso objetivo é descobrir qual dos ciclos é mais eficiente e por quanto.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a eficiência dos ciclos de Carnot é calculada e como o trabalho realizado está relacionado às expansões de volume durante o processo isotérmico.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a eficiência de um ciclo de Carnot é dada pela fórmula:
eta = 1 - TcTh
onde:
  • é a eficiência,
  • é a temperatura do reservatório frio,
  • é a temperatura do reservatório quente.
Como ambos os ciclos retiram energia do mesmo reservatório quente ( é o mesmo para A e B), a eficiência dependerá principalmente da temperatura do reservatório frio ( ) para cada ciclo.

Passo 3

Durante a expansão isotérmica de um ciclo de Carnot, o trabalho realizado é dado por:
W = nRT ln(VfVi)
onde:
  • WA = nRT ln(2) é o trabalho,
  • WB = nRT ln(3) é o número de mols,
  • é a constante dos gases,
  • é a temperatura (constante durante a expansão isotérmica),
  • é o volume final,
  • é o volume inicial.
Para o ciclo A, o volume dobra ( ), então o trabalho realizado é:
Para o ciclo B, o volume triplica ( ), então:

Passo 4

Segundo o enunciado, o ciclo A realiza o dobro do trabalho do ciclo B:
WA = 2WB
Substituindo as expressões de nRT ln(2) = 2 cdot nRT ln(3) e ln(2) = 2ln(3) :
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
No entanto, ao resolver essa equação, percebemos uma inconsistência, pois . Isso sugere que há uma relação entre as temperaturas dos reservatórios frios dos ciclos A e B para que a condição do trabalho seja satisfeita.

Passo 5

Vamos relacionar a eficiência com o trabalho realizado. Para um ciclo de Carnot, o trabalho é:
W = Qh eta
onde WAWB = etaAetaB = 2 é o calor retirado do reservatório quente.
Como etaA = 2etaB é o mesmo para ambos os ciclos, a relação dos trabalhos é diretamente proporcional às eficácias:
Portanto, a eficiência do ciclo A é o dobro da eficiência do ciclo B:

Passo 6

Como a eficiência de um ciclo de Carnot é etaA = 1 - TcATh , podemos escrever para ambos os ciclos:
etaB = 1 - TcBTh
1 - TcATh = 2(1 - TcBTh)
Dado que 1 - TcATh = 2 - 2TcBTh , substituímos:
- TcATh = 1 - 2TcBTh
Resolvendo para a relação entre TcATh = 2TcBTh - 1 e TcA = 2TcB - Th :

Passo 7

Para determinar qual ciclo é mais eficiente, observamos que . Portanto, a eficiência do ciclo A é maior que a do ciclo B.

Resposta

O ciclo A é o mais eficiente e sua eficiência é o dobro da eficiência do ciclo B.

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