Ciclos de Carnot A e B operam com a mesma substância e retiram suas energias térmicas do mesmo reservatório a alta temperatura. Os dois ciclos começa a operar ocupando diferentes volumes. Durante a expansão isotérmica, o ciclo A dobra seu colume e o ciclo B triplica seu volume. Se o ciclo A realiza o dobro do trabalho do ciclo B, qual dos ciclos é o mais eficiente e por quanto?
Passo 1
Vamos resumir o problema: Temos dois ciclos de Carnot, A e B, que usam a mesma substância e retiram energia do mesmo reservatório de alta temperatura. Durante a expansão isotérmica, o ciclo A dobra seu volume, enquanto o ciclo B triplica. Além disso, o ciclo A realiza o dobro do trabalho que o ciclo B faz. Nosso objetivo é descobrir qual dos ciclos é mais eficiente e por quanto.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a eficiência dos ciclos de Carnot é calculada e como o trabalho realizado está relacionado às expansões de volume durante o processo isotérmico.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a eficiência de um ciclo de Carnot é dada pela fórmula:
onde:
-
é a eficiência, -
é a temperatura do reservatório frio, -
é a temperatura do reservatório quente.
Como ambos os ciclos retiram energia do mesmo reservatório quente (
é o mesmo para A e B), a eficiência dependerá principalmente da temperatura do reservatório frio (
) para cada ciclo.
Passo 3
Durante a expansão isotérmica de um ciclo de Carnot, o trabalho realizado é dado por:
onde:
-
é o trabalho, -
é o número de mols, -
é a constante dos gases, -
é a temperatura (constante durante a expansão isotérmica), -
é o volume final, -
é o volume inicial.
Para o ciclo A, o volume dobra (
), então o trabalho realizado é:
Para o ciclo B, o volume triplica (
), então:
Passo 4
Segundo o enunciado, o ciclo A realiza o dobro do trabalho do ciclo B:
Substituindo as expressões de
e
:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
No entanto, ao resolver essa equação, percebemos uma inconsistência, pois
. Isso sugere que há uma relação entre as temperaturas dos reservatórios frios dos ciclos A e B para que a condição do trabalho seja satisfeita.
Passo 5
Vamos relacionar a eficiência com o trabalho realizado. Para um ciclo de Carnot, o trabalho é:
onde
é o calor retirado do reservatório quente.
Como
é o mesmo para ambos os ciclos, a relação dos trabalhos é diretamente proporcional às eficácias:
Portanto, a eficiência do ciclo A é o dobro da eficiência do ciclo B:
Passo 6
Como a eficiência de um ciclo de Carnot é
, podemos escrever para ambos os ciclos:
Dado que
, substituímos:
Resolvendo para a relação entre
e
:
Passo 7
Para determinar qual ciclo é mais eficiente, observamos que
. Portanto, a eficiência do ciclo A é maior que a do ciclo B.
Resposta
O ciclo A é o mais eficiente e sua eficiência é o dobro da eficiência do ciclo B.