(a) Considere um ciclo circular no plano
dado por
onde
e
. Se esse ciclo opera como uma máquina térmica, qual sera sua eficiência? A substância que o compõe é um gás ideal monoatômico.
(b) Encontre a variação de entropia por partícula nesse sistema na parte do ciclo onde o calor está entrando.
© Se o ciclo opera como um refrigerador, qual será o valor de
?
(b) Encontre a variação de entropia por partícula nesse sistema na parte do ciclo onde o calor está entrando.
© Se o ciclo opera como um refrigerador, qual será o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão (a) pede para a gente calcular a eficiência de uma máquina térmica que segue um ciclo no diagrama $ P-V $ definido pela equação $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Aqui, $ x = \frac{P - 2P_{0}}{P_{0}} $ e $ y = \frac{V - 2V_{0}}{V_{0}} $. Além disso, sabemos que o gás envolvido é monoatômico e ideal. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como eficiência de máquinas térmicas e propriedades dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o ciclo $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Isso representa um círculo no diagrama $ P-V $ com centro em $ (2P_{0}, 2V_{0}) $ e raio 1 no sistema de coordenadas normalizado. Para achar a eficiência, precisamos saber o trabalho realizado e o calor absorvido durante o ciclo.
Passo 3
A eficiência ($ \eta $) de uma máquina térmica é dada por:
onde $ W $ é o trabalho realizado e $ Q_{in} $ é o calor absorvido.
Passo 4
Como o ciclo é uma figura fechada no diagrama $ P-V $, o trabalho $ W $ é a área do ciclo:
Aqui, $ r = 1 $, então:
Passo 5
Para encontrar $ Q_{in} $, precisamos usar a primeira lei da termodinâmica:
Como é um ciclo completo, a variação de energia interna ($ \Delta U $) é zero. Então, todo o calor fornecido é igual ao trabalho:
Passo 6
Agora, calculando a eficiência:
Isso significa que, teoricamente, a eficiência seria 100%, o que na prática não é possível devido a perdas e limitações físicas.
Resposta
A eficiência da máquina térmica é $ 100% $.