Calor é gerado a uma taxa volumétrica constante de em uma esfera com raio de 1 cm e condutividade térmica de . A esfera é resfriada por convecção para o ambiente que se encontra a , com um coeficiente de troca térmica de . Calcule a temperatura no centro da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede.
Temos uma esfera de raio onde há geração de calor uniforme dentro do volume a uma taxa . A condutividade térmica do material é e na superfície rola convecção com coeficiente para um ambiente a .
Conteúdo: transferência de calor por condução em coordenadas esféricas com geração interna e fronteira convectiva.
O que vamos precisar:
A equação diferencial de condução em regime permanente com geração volumétrica, em coordenadas esféricas;
As condições de simetria no centro e a condição de convecção na superfície;
Resolver a ODE, aplicar as condições de contorno e calcular numericamente .
Passo 2
Escrevendo a equação de energia em regime estacionário (sem termo de tempo) para uma esfera com geração volumétrica em coordenadas esféricas (dependência só de ):
Essa equação diz: a divergência do fluxo condutivo mais a geração interna dividida por é zero.
Passo 3
Integramos uma vez em . Seja constante de integração:
No centrinho da esfera () não pode dar infinito, logo o termo em tem que sumir → . Assim:
Passo 4
Integramos de novo para achar , com outra constante :
Agora usamos a condição de convecção na superfície :
Calculando o gradiente em r=R:
dTdr|R=-q'''R3kLongrightarrow -kl(-q'''R3kr)=q'''R3=hl(T(R)-Tinftyr),
Logo T(R)-Tinfty=q'''R3h,