Calor é gerado a uma taxa volumétrica constante de 2 times 10^8 W / m^3 em uma esfera com raio de 1 cm e condutividade térmica de 386 W / m^circ C. A esfera é resfriada por convecção para o ambiente que se encontra a 10^circ C, com um coeficiente de troca térmica de 2000 W / m^2 ^circ C. Calcule a temperatura no centro da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede.
Temos uma esfera de raio R=1 cm onde há geração de calor uniforme dentro do volume a uma taxa q'''=2times10^8; W/m^3. A condutividade térmica do material é k=386; W/(mcdot °C) e na superfície rola convecção com coeficiente h=2000; W/(m^2cdot °C) para um ambiente a Tinfty=10,°C.
Conteúdo: transferência de calor por condução em coordenadas esféricas com geração interna e fronteira convectiva.
O que vamos precisar:
  • A equação diferencial de condução em regime permanente com geração volumétrica, em coordenadas esféricas;
  • As condições de simetria no centro e a condição de convecção na superfície;
  • Resolver a ODE, aplicar as condições de contorno e calcular numericamente T(0).

Passo 2

Escrevendo a equação de energia em regime estacionário (sem termo de tempo) para uma esfera com geração volumétrica q''' em coordenadas esféricas (dependência só de r):
1r^2ddr!l(r^2dTdrr)+q'''k=0,
Essa equação diz: a divergência do fluxo condutivo mais a geração interna dividida por k é zero.

Passo 3

Integramos uma vez em r. Seja C1 constante de integração:
r^2dTdr=-q'''k,r^33+C1Longrightarrow dTdr=-q'''3k,r+C1r^2,
No centrinho da esfera ( r=0) não pode dar infinito, logo o termo em 1/r^2 tem que sumir → C1=0. Assim:
dTdr=-q'''3k,r,

Passo 4

Integramos de novo para achar T(r), com outra constante C2:
T(r)=-q'''3k,r^22+C2=-q'''r^26k+C2,
Agora usamos a condição de convecção na superfície r=R:
-kdTdr|r=R=hl(T(R)-Tinftyr),
Calculando o gradiente em r=R:
dTdr|R=-q'''R3kLongrightarrow -kl(-q'''R3kr)=q'''R3=hl(T(R)-Tinftyr),
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T(R)-Tinfty=q'''R3h,

Passo 5

Agora achamos C2 usando T(R)= -q'''R^26k+C2:
$$-\frac{q’’‘R^2}{6k}+C_2 - T_\infty=\frac{q’’'R}{3h}
\quad\Longrightarrow\quad C_2=T_\infty+\frac{q’’‘R^2}{6k}+\frac{q’’‘R}{3h},. -q'''R^26k+C2 - Tinfty=q'''R3h Longrightarrow C2=Tinfty+q'''R^26k+q'''R3h, éT(0)= -\frac{q’’’(0)^2}{6k}+C_2
= T_\infty+\frac{q’’‘R^2}{6k}+\frac{q’’'R}{3h},. $$
Basta agora inserir os valores numéricos:
- r=0
- T(0)= -q'''(0)^26k+C2 = Tinfty+q'''R^26k+q'''R3h,
- q'''=2times10^8; W/m^3
- R=0,01; m
- k=386; W/(mcdot °C)
Calculemos cada termo:
  1. h=2000; W/(m^2cdot °C)
  2. Tinfty=10;°C

Resposta

Somando tudo:
T(0)=10 + 8,63 + 333,33approx351,96;°C,
Ou seja, a temperatura no centro da esfera é cerca de 352 °C.

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