O calor de vaporização de um certo líquido, cuja temperatura normal de ebulição e 120^{\circ} \mathrm{C}, varia com a temperatura de acordo com a seguinte equação:
\Delta_{\mathrm{vap}} H=104650-125,58 T
a) Ótterna a equaçao que da a variação da pressao de vapor desse liquido em função da temperatura.
b) Determine a pressão de vapor deste líquido a 30^{\circ} \mathrm{C}.
c) Determine a temperatura crítica deste líquido.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
  • Dado: a variação do calor molar de vaporização em função da temperatura é \Delta_{\mathrm{vap}} H = 104650 - 125{,}58\,T.
  • Dado: a temperatura normal de ebulição é 120^{\circ}\mathrm{C}. (Isto significa que à temperatura 120^{\circ}\mathrm{C} a pressão de vapor do líquido vale 1\\ \text{atm}.)
  • Pedidos:
    (a) obter a equação que dá a variação da pressão de vapor em função da temperatura T;
    (b) determinar a pressão de vapor a 30^{\circ}\mathrm{C};
    (c) determinar a temperatura crítica do líquido.
Informações numéricas e conversões que usarei (tirei do enunciado e de definições padrão):
  • Converter temperaturas para Kelvin: T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15. Assim o ponto normal de ebulição corresponde a T_b = 120 + 273{,}15 = 393{,}15\\ \mathrm{K}. Para 30^{\circ}\mathrm{C} temos T = 303{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Tomarei p_b = 1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (uma atmosfera).
  • Constante dos gases: R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 2

O que vou usar: a equação de Clausius–Clapeyron em sua forma conveniente para vaporização, quando o vapor se comporta aproximadamente como gás ideal e o volume do líquido é desprezível em comparação com o do vapor. Essa forma é
\frac{d\ln p}{dT}=\frac{\Delta_{\mathrm{vap}} H(T)}{R\,T^{2}}.
Explicando cada símbolo:
  • p é a pressão de vapor (função de T);
  • T é a temperatura absoluta (em Kelvin);
  • \Delta_{\mathrm{vap}} H(T) é o calor molar de vaporização à temperatura T (em J·mol^{-1});
  • R é a constante dos gases (em J·mol{-1}·K{-1}).
Essa equação vem de igualar, para o equilíbrio líquido–vapor, d\ln p = \dfrac{\Delta H}{R}\,d\!\left(\dfrac{1}{T}\right) quando \Delta H é aproximadamente constante; aqui \Delta H não é constante mas depende de T, então usamos a forma diferencial explícita acima.

Passo 3

Substituo a expressão dada para \Delta_{\mathrm{vap}} H(T) na equação diferencial:
\frac{d\ln p}{dT}=\frac{104650-125{,}58\,T}{R\,T^{2}} = \frac{104650}{R}T^{-2} - \frac{125{,}58}{R}T^{-1}.
Agora integro essa expressão entre uma temperatura de referência T_b (onde conheço a pressão p_b) e uma temperatura qualquer T. A integral é simples porque \int T^{-2}dT=-T^{-1} e \int T^{-1}dT=\ln T. Integrando de T_b a T:
\ln\frac{p(T)}{p_b} = \frac{104650}{R}\Big(\frac{1}{T_b}-\frac{1}{T}\Big) - \frac{125{,}58}{R}\big(\ln T - \ln T_b\big).
Rearranjando para obter p(T) explicitamente, exponencio ambos os lados:
p(T)=p_b\;\exp\!\Big[\,\frac{104650}{R}\Big(\frac{1}{T_b}-\frac{1}{T}\Big)\Big]\; \exp\!\Big[-\frac{125{,}58}{R}\big(\ln T - \ln T_b\big)\Big].
Posso juntar o último fator usando propriedades de potências:
\exp\!\Big[-\frac{125{,}58}{R}\big(\ln T - \ln T_b\big)\Big] =\left(\frac{T_b}{T}\right)^{\frac{125{,}58}{R}}.
Portanto a forma final e prática é
\boxed{\,p(T)=p_b\;\exp\!\Big[\frac{104650}{R}\Big(\frac{1}{T_b}-\frac{1}{T}\Big)\Big]\;\left(\frac{T_b}{T}\right)^{\frac{125{,}58}{R}}\,.}
Isto responde o item (a). Observação: nesta expressão T e T_b estão em Kelvin e p_b é a pressão conhecida no ponto de referência (aqui p_b=1\\ \text{atm} em T_b=393{,}15\\ \mathrm{K}).

Passo 4

Agora aplico a fórmula para calcular a pressão de vapor a 30^{\circ}\mathrm{C}, isto é em T=303{,}15\\ \mathrm{K}. Usarei T_b=393{,}15\\ \mathrm{K}, p_b=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} e R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Primeiro calculo os coeficientes numéricos:
\frac{104650}{R}\approx \frac{104650}{8{,}314462618}\approx 12586{,}50, \qquad \frac{125{,}58}{R}\approx \frac{125{,}58}{8{,}314462618}\approx 15{,}1030.
Calculo o termo exponencial principal:
\frac{1}{T_b}-\frac{1}{T}=\frac{1}{393{,}15}-\frac{1}{303{,}15}\approx -0{,}00075403,
então
\frac{104650}{R}\Big(\frac{1}{T_b}-\frac{1}{T}\Big)\approx 12586{,}50\times(-0{,}00075403)\approx -9{,}489.
Calculo o fator de potência:
\left(\frac{T_b}{T}\right)^{\frac{125{,}58}{R}} = \left(\frac{393{,}15}{303{,}15}\right)^{15{,}1030}
é conveniente trabalhar com logaritmo:
-\frac{125{,}58}{R}(\ln T - \ln T_b)= -15{,}1030\ln\!\Big(\frac{303{,}15}{393{,}15}\Big) \approx -15{,}1030\times(-0{,}259704)\approx +3{,}924.
Somando os expoentes que aparecem multiplicando p_b:
\ln\frac{p(T)}{p_b}\approx -9{,}489 + 3{,}924 = -5{,}565.
Portanto
\ln p(T)\approx \ln p_b -5{,}565 \quad\Rightarrow\quad p(T)=p_b\,e^{-5{,}565}.
Com p_b=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} obtemos numericamente
p(303{,}15\\ \mathrm{K})\approx 1{,}01325\times10^{5}\times e^{-5{,}565}\approx 389\\ \mathrm{Pa}.
Para dar uma ideia em outras unidades:
p\approx 389\\ \mathrm{Pa}=0{,}389\\ \mathrm{kPa}\approx 2{,}92\\ \mathrm{mmHg}\approx 0{,}00384\\ \text{atm}.

Passo 5

Agora o item (c): temperatura crítica. Por definição, no ponto crítico a entalpia de vaporização se anula ( \Delta_{\mathrm{vap}} H=0), porque não há distinção entre líquido e vapor. Então resolvo
104650-125{,}58\,T_c=0 \quad\Rightarrow\quad T_c=\frac{104650}{125{,}58}.
Fazendo a conta:
T_c=\frac{104650}{125{,}58}=833{,}333\ldots\\ \mathrm{K}.
Convertendo para graus Celsius:
T_c(^{\circ}\mathrm{C})=833{,}333\ldots-273{,}15\approx 560{,}18^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

(a) p(T)=p_b\;\exp\!\Big[\frac{104650}{R}\Big(\frac{1}{T_b}-\frac{1}{T}\Big)\Big]\;\left(\frac{T_b}{T}\right)^{\frac{125{,}58}{R}},
com T_b=393{,}15\\ \mathrm{K} e p_b=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
(b) p(30^{\circ}\mathrm{C})\approx 389\\ \mathrm{Pa}\quad(\approx 0{,}389\\ \mathrm{kPa}\approx 2{,}92\\ \mathrm{mmHg}).
(c) T_c\approx 833{,}33\\ \mathrm{K}\approx 560{,}18^{\circ}\mathrm{C}.

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