A temperatura normal de ebulição do n-butanol e 118,1^{\circ} \mathrm{C} e sua entalpia de vaporização nesta temperatura vale 48,5 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}. A que temperatura o n-butanol } entra em ebulição sob pressão de 2,66 \times 10^{3} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{-2} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: temperatura normal de ebulição do n-butanol T_1 = 118,1^\circ\mathrm{C}.
  • Dado: entalpia molar de vaporização em T_1, \Delta H_{\text{vap}} = 48,5\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.
  • Dado: pressão desejada P_2 = 2,66\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m^{-2}}.
  • Informação implícita: “temperatura normal de ebulição” significa ebulição à pressão normal P_1 = 1,013\times10^{5}\\ \mathrm{N\cdot m^{-2}} (uma atmosfera).
  • Pedido: encontrar a temperatura de ebulição T_2 sob a pressão P_2.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (explicação didática, sem pular etapas).
Quando um líquido e seu vapor estão em equilíbrio de fases, a variação da pressão de vapor com a temperatura é dada pela equação de Clausius–Clapeyron diferencial:
\frac{d\ln P}{dT}=\frac{\Delta H_{\text{vap}}}{R\,T^{2}},
onde:
  • P é a pressão de vapor,
  • T é a temperatura em kelvin,
  • \Delta H_{\text{vap}} é a entalpia molar de vaporização (assumida aproximadamente constante neste intervalo de temperaturas),
  • R é a constante dos gases ideais ( R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}).
Integrando essa expressão entre dois estados (P_1,T_1) e (P_2,T_2), e assumindo \Delta H_{\text{vap}} aproximadamente constante, obtemos a forma integrada muito usada:
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=-\frac{\Delta H_{\text{vap}}}{R}\!\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Essa equação permite relacionar duas pressões de vapor conhecidas com duas temperaturas correspondentes. A suposição de \Delta H_{\text{vap}} constante costuma ser razoável para variações de temperatura não muito grandes, e é justamente a hipótese padrão para problemas de exame.

Passo 3

Reescrever a fórmula para isolar T_2 e explicar cada passo algébrico.
Partindo de
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=-\frac{\Delta H_{\text{vap}}}{R}\!\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right),
isolamos \dfrac{1}{T_2}:
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}=-\frac{R}{\Delta H_{\text{vap}}}\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)
\Rightarrow\qquad \frac{1}{T_2}=\frac{1}{T_1}-\frac{R}{\Delta H_{\text{vap}}}\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
Depois, T_2 é simplesmente o recíproco dessa expressão:
T_2=\frac{1}{\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{R}{\Delta H_{\text{vap}}}\ln\!\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)}.

Passo 4

Converter unidades e preparar os valores numéricos (explicando cada conversão).
  • Converter T_1 para kelvin:
T_1=118,1^\circ\mathrm{C}=118,1+273,15=391,25\\ \mathrm{K}.
  • Converter \Delta H_{\text{vap}} para joules por mol:
\Delta H_{\text{vap}}=48,5\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}=48{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}=48500\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
  • Constante dos gases:
R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
  • Pressões já dadas em unidades SI (N·m^{-2} = Pa):
P_1=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\qquad P_2=2{,}66\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Calcular passo a passo os valores numéricos (mostrar contas intermediárias).
Calcular o logaritmo:
\frac{P_2}{P_1}=\frac{2{,}66\times10^{3}}{1{,}013\times10^{5}}=0{,}0262586\quad(\text{aprox.})
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=\ln(0{,}0262586)\approx-3{,}6401.
Calcular o fator \dfrac{R}{\Delta H_{\text{vap}}}:
\frac{R}{\Delta H_{\text{vap}}}=\frac{8{,}314}{48500}\approx0{,}00017136\\ \mathrm{K^{-1}}.
Agora calcular a correção em 1/T:
\frac{R}{\Delta H_{\text{vap}}}\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\approx 0{,}00017136\times(-3{,}6401)\approx-0{,}0006242\\ \mathrm{K^{-1}}.
Aplicar na expressão de 1/T_2:
\frac{1}{T_1}=\frac{1}{391{,}25}\approx0{,}0025560\\ \mathrm{K^{-1}}.
\frac{1}{T_2}=\frac{1}{T_1}-\frac{R}{\Delta H_{\text{vap}}}\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) \approx 0{,}0025560-(-0{,}0006242)=0{,}0031802\\ \mathrm{K^{-1}}.
Logo
T_2=\frac{1}{0{,}0031802}\approx314{,}47\\ \mathrm{K}.
Converter para graus Celsius:
T_2=314{,}47-273{,}15\approx41{,}32^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Interpretação final curta e encorajamento.
O resultado indica que, sob a pressão muito menor P_2=2{,}66\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}, o n-butanol entra em ebulição a uma temperatura bem menor que a normal: aproximadamente 41{,}3^\circ\mathrm{C}. Isso faz sentido físico: quanto menor a pressão sobre o líquido, menor a temperatura necessária para que o vapor tenha pressão suficiente para formar bolhas (ebulição). Boa! Você já tem a técnica: usar a forma integrada da Clausius–Clapeyron, converter unidades com cuidado e calcular passo a passo.

Resposta

T_2\approx41{,}3^\circ\mathrm{C}

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