Em uma manhã fria e seca, no interior do Rio Grande do Sul, a temperatura ambiente chegou a -3^{\circ} \mathrm{C} e a pressão de vapor da água era de 533,16 \mathrm{~Pa}. Verifique se com essa pressão de vapor d’agua havia condições para a formação de geada nesse local. Dados: calor de sublimação da água =48,0 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}; ponto triplo da água =273,16 \mathrm{~K} e 607,80 \mathrm{~Pa}.

Passo 1

O enunciado pede verificar se, nas condições dadas, havia formação de geada. Mais precisamente: comparar a pressão parcial do vapor d’água fornecida com a pressão de saturação do vapor sobre gelo à temperatura ambiente. Informações dadas (peguei estes valores do enunciado):
  • Temperatura ambiente: -3^\circ\mathrm{C}. Em kelvin isso é T=270,15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão de vapor observada: p_{\text{obs}}=533,16\\ \mathrm{Pa}.
  • Calor de sublimação da água: \Delta H_{\text{sub}}=48{,}0\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}=48\,000\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
  • Ponto triplo da água: T_{\text{trip}}=273{,}16\\ \mathrm{K} com pressão p_{\text{trip}}=607{,}80\\ \mathrm{Pa}.
O que devemos fazer: calcular a pressão de saturação do vapor sobre gelo à temperatura T=270{,}15\\ \mathrm{K} (usando os dados do ponto triplo e a aproximação de Clausius–Clapeyron) e comparar esse valor com p_{\text{obs}}. Se p_{\text{obs}} for maior ou igual à pressão de saturação sobre gelo, há condição para deposição (formação de geada).

Passo 2

Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar suas variáveis.
A equação integrada de Clausius–Clapeyron, sob a aproximação de entalpia constante, relaciona pressões de equilíbrio em duas temperaturas: \ln\!\left(\frac{p}{p_{\text{ref}}}\right) = -\frac{\Delta H}{R}\!\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{\text{ref}}}\right).
Aqui:
  • p é a pressão de saturação do vapor na temperatura T que queremos (no caso, saturção sobre gelo a 270{,}15\\ \mathrm{K});
  • p_{\text{ref}} é a pressão de referência conhecida (usamos o ponto triplo: p_{\text{trip}});
  • \Delta H é a entalpia do processo correspondente (para sublimação, usamos \Delta H_{\text{sub}});
  • R é a constante universal dos gases ideais; usarei R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}};
  • T e T_{\text{ref}} são as temperaturas absolutas correspondentes (em kelvin).
Explicação curta e intuitiva: essa fórmula nos diz como a pressão de equilíbrio muda quando variamos a temperatura, assumindo que a entalpia de mudança de fase não varia muito no intervalo considerado. É apropriada aqui porque usamos os dados do ponto triplo como referência e queremos a pressão de saturação próxima a essa temperatura.

Passo 3

Aplicar a fórmula com os valores do enunciado. Primeiro escrevo a relação específica entre p_{\text{sat}}(T) e os dados do ponto triplo: \ln\!\left(\frac{p_{\text{sat}}(T)}{p_{\text{trip}}}\right) = -\frac{\Delta H_{\text{sub}}}{R}\!\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{\text{trip}}}\right).
Substituindo os valores (todas as quantidades em unidades do SI): \Delta H_{\text{sub}}=48\,000\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}},\qquad R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}},
T=270{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_{\text{trip}}=273{,}16\\ \mathrm{K},\qquad p_{\text{trip}}=607{,}80\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Calcular passo a passo os termos numéricos.
  1. Calcular \dfrac{\Delta H_{\text{sub}}}{R}: \frac{\Delta H_{\text{sub}}}{R}=\frac{48\,000}{8{,}314}\approx 5\,773{,}07.
  2. Calcular a diferença de recíprocos de temperatura: \frac{1}{T}-\frac{1}{T_{\text{trip}}}=\frac{1}{270{,}15}-\frac{1}{273{,}16}.
É mais preciso calcular essa diferença usando a fórmula combinada: \frac{1}{270{,}15}-\frac{1}{273{,}16}=\frac{273{,}16-270{,}15}{270{,}15\cdot273{,}16}=\frac{3{,}01}{270{,}15\cdot273{,}16}.
Multiplicando 270{,}15\cdot273{,}16\approx 73\,794{,}174, obtemos \frac{1}{T}-\frac{1}{T_{\text{trip}}}\approx \frac{3{,}01}{73\,794{,}174}\approx 4{,}0808\times10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}}.
  1. Multiplicar os termos: \frac{\Delta H_{\text{sub}}}{R}\!\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{\text{trip}}}\right)\approx 5\,773{,}07\times 4{,}0808\times10^{-5}\approx 0{,}23559.
Portanto \ln\!\left(\frac{p_{\text{sat}}(T)}{607{,}80}\right)\approx -0{,}23559.

Passo 5

Isolar p_{\text{sat}}(T) e calcular numericamente.
Tomando exponencial em ambos os lados: \frac{p_{\text{sat}}(T)}{607{,}80}=\exp\!\big(-0{,}23559\big)\approx 0{,}79011.
Logo p_{\text{sat}}(270{,}15\\ \mathrm{K})\approx 607{,}80\times 0{,}79011\approx 480{,}23\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação numérica simples: a pressão de saturação do vapor sobre gelo a -3^\circ\mathrm{C} é aproximadamente 480{,}2\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Comparar com a pressão observada e concluir.
Dado p_{\text{obs}}=533{,}16\\ \mathrm{Pa} e o valor calculado de saturação sobre gelo p_{\text{sat}}\approx 480{,}23\\ \mathrm{Pa}, vemos que p_{\text{obs}}=533{,}16\\ \mathrm{Pa} > p_{\text{sat}}(270{,}15\\ \mathrm{K})\approx 480{,}23\\ \mathrm{Pa}.
Quando a pressão parcial do vapor excede a pressão de saturação sobre gelo à temperatura ambiente, o vapor está supersaturado em relação ao gelo e ocorre deposição (vapor -> sólido) sobre superfícies frias: isso é exatamente a formação de geada.

Resposta

Sim. p_{\text{obs}}=533{,}16\\ \mathrm{Pa} > p_{\text{sat}}(270{,}15\\ \mathrm{K})\approx480{,}23\\ \mathrm{Pa}, logo havia condições para formação de geada.

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