(Calorimetria e Conversão) Em um canteiro de obras, um operário utiliza um aquecedor de 1500 W para ferver 2,0 litros de âgua ( m=2,0 \mathrm{~kg} ) para (azer café. A água está inicialmente a 22^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que o calor especifico da água é 4186 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}, calcule o tempo necessário para que a água atinja 100^{\circ} \mathrm{C}, considerando que 15 \% da energia produzida pelo aquecedor é perdida para o ambiente.

Passo 1

O enunciado pede o tempo necessário para aquecer água de 22^{\circ}\mathrm{C} até 100^{\circ}\mathrm{C} usando um aquecedor de 1500\\ \mathrm{W}, sabendo que 15\% da energia produzida é perdida para o ambiente. Dados fornecidos:
  • Potência do aquecedor: P_{\text{nom}}=1500\\ \mathrm{W}.
  • Fração da energia perdida: 15\% (ou seja, apenas 85\% é útil).
  • Massa da água: m=2{,}0\\ \mathrm{kg} (o enunciado deu 2{,}0\\ \mathrm{kg}).
  • Temperatura inicial: T_i=22^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura final desejada: T_f=100^{\circ}\mathrm{C}.
  • Calor específico da água: c=4186\\ \mathrm{J}\!/\!(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).
Pergunta clara: calcular o tempo t necessário (em segundos e em minutos) para que a água atinja 100^{\circ}\mathrm{C}, considerando as perdas de energia.

Passo 2

Explicar a física e a fórmula que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
Quando aquecemos uma massa m de substância, a energia (calor) necessária para aumentar sua temperatura de T_i para T_f é dada por
Q = m\,c\,\Delta T,
onde:
  • Q é a energia térmica necessária em joules ( \mathrm{J});
  • m é a massa em quilogramas ( \mathrm{kg});
  • c é o calor específico em \mathrm{J}\!/\!(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K});
  • \Delta T = T_f - T_i é a variação de temperatura em kelvin ( \mathrm{K}). Observação: uma variação em graus Celsius é numericamente igual em kelvin, então usar ^{\circ}\mathrm{C} direto na diferença é correto.
A potência útil entregue à água é a parte da potência elétrica que efetivamente aquece a água, isto é:
P_{\text{útil}} = \eta\,P_{\text{nom}},ú
onde \eta é a eficiência (fração não perdida). Aqui \eta = 1 - 0{,}15 = 0{,}85.
Potência é energia por tempo, portanto a relação entre energia necessária Q, potência útil P_{\text{útil}}ú e tempo t é
P_{\text{útil}} = \frac{Q}{t} \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{Q}{P_{\text{útil}}}.úú
Unidades: Q em joules, P_{\text{útil}}ú em watts ( 1\\ \mathrm{W}=1\\ \mathrm{J/s}), então t vem em segundos.

Passo 3

Calcular a variação de temperatura \Delta T:
\Delta T = T_f - T_i = 100^{\circ}\mathrm{C} - 22^{\circ}\mathrm{C} = 78\\ \mathrm{K}.
Agora aplicar Q = m c \Delta T. Substituindo os valores dados:
Q = (2{,}0\\ \mathrm{kg}) \times (4186\\ \mathrm{J}\!/\!(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K})) \times (78\\ \mathrm{K}).
Calculemos passo a passo:
4186 \times 78 = 4186 \times (80-2) = 4186\cdot80 - 4186\cdot2 = 334880 - 8372 = 326508.
Então
Q = 2{,}0 \times 326508 = 653016\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular a potência útil considerando perdas de 15\%. A eficiência é \eta=0{,}85. Então
P_{\text{útil}} = \eta\,P_{\text{nom}} = 0{,}85 \times 1500\\ \mathrm{W} = 1275\\ \mathrm{W}.ú
Explicação breve: isto significa que, por segundo, 1275\\ \mathrm{J} são efetivamente transferidos para a água; os outros 225\\ \mathrm{J/s} são perdidos para o ambiente.

Passo 5

Usar a relação t = Q / P_{\text{útil}}ú e substituir os valores:
t = \frac{653016\\ \mathrm{J}}{1275\\ \mathrm{W}}.

Passo 6

Fazer a divisão com cuidado:
1275 \times 512 = 652800,
restando 653016 - 652800 = 216. Portanto
t = 512 + \frac{216}{1275}\\ \mathrm{s} \approx 512{,}1694118\\ \mathrm{s}.
Arredondando com sentido prático, t \approx 512{,}17\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Converter o tempo para minutos e segundos, que costuma ser mais intuitivo na vida real:
512{,}1694118\\ \mathrm{s} = \frac{512{,}1694118}{60}\\ \mathrm{min} \approx 8{,}53615686\\ \mathrm{min}.
Que é 8 minutos mais 0{,}53615686\times60 segundos:
0{,}53615686\times60 \approx 32{,}1694\\ \mathrm{s}.
Logo cerca de 8\\ \mathrm{min}\\\ 32{,}17\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Observações finais e incentivo (rápido):
  • Foi assumido que toda a potência útil vai para aquecer a água (ou seja, desprezamos a capacidade térmica do recipiente e perdas adicionais variáveis). Em problemas de prova isso é comum e o enunciado já deu a perda percentual.
  • Não foi considerado o calor de vaporização porque a pergunta pede só até 100^{\circ}\mathrm{C}, não para vaporizar a água.
  • Mandou bem por trazer o exercício — esse tipo de conta é direto quando se domina Q=mc\Delta T e a relação potência-energia-tempo. Respira: você consegue aplicar isso na prova!

Resposta

t \approx 512{,}17\\ \mathrm{s}
t \approx 8{,}54\\ \mathrm{min} (aprox. 8\\ \mathrm{min}\\\ 32{,}2\\ \mathrm{s})

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