(Termometria de Precisāo) Um termômetro de gás a volume constante é calibrado no ponto triplo da água (273,16 \mathrm{~K}), onde a pressão medida e P 3=50,0 \mathrm{kPa}. Quando este termômetro é colocado em um forno industrial, a pressão do gás estabiliza em 162,5 \mathrm{kPa}. Determine a temperatura do forno nas escalas Kelvin e Celsius.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a temperatura do forno nas escalas Kelvin e Celsius, dado um termômetro de gás a volume constante calibrado no ponto triplo da água. As informações fornecidas são:
  • Temperatura do ponto triplo da água: T_3 = 273,16\\ \text{K}.
  • Pressão medida no ponto triplo (calibração): P_3 = 50,0\\ \text{kPa}.
  • Pressão medida no forno: P = 162,5\\ \text{kPa}.
As perguntas são:
  1. Qual a temperatura do forno em Kelvin?
  2. Qual a temperatura do forno em Celsius?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e simples). O termômetro é um gás a volume constante. Para um gás ideal vale a lei de Boyle–Mariotte/ideal:
P V = n R T,
onde:
  • P é a pressão do gás,
  • V é o volume ocupado pelo gás,
  • n é o número de mols do gás,
  • R é a constante universal dos gases,
  • T é a temperatura absoluta (em Kelvin).
Se o volume V é constante e o número de mols n também não muda quando se move o termômetro, então V e n são constantes. Assim, da equação acima a pressão é proporcional à temperatura absoluta:
\frac{P}{T}=\text{constante}.
Isto significa que, entre dois estados do mesmo aparelho (calibração e forno),
\frac{P_3}{T_3}=\frac{P}{T}.
Essa relação é a base de como termômetros gasosos a volume constante funcionam: medir P permite obter T por proporcionalidade.

Passo 3

Isolando T na relação \dfrac{P_3}{T_3}=\dfrac{P}{T} obtemos a fórmula prática para calcular a temperatura no forno:
T = T_3\cdot\frac{P}{P_3}.
Aqui:
  • T é a temperatura do forno em Kelvin (o que o enunciado pede em primeiro lugar),
  • T_3 é a temperatura de calibração (ponto triplo),
  • P é a pressão medida no forno,
  • P_3 é a pressão medida no ponto triplo durante a calibração.

Passo 4

Calcular a razão das pressões. Usando os valores fornecidos:
\frac{P}{P_3}=\frac{162,5}{50,0}.
Fazendo a divisão:
\frac{162,5}{50,0}=3,25.

Passo 5

Calcular a temperatura em Kelvin aplicando a fórmula do Passo 3. Substituindo T_3=273,16\\ \text{K} e a razão encontrada:
T = 273,16\cdot 3,25.
Para facilitar a conta manual, observe que 3,25=\dfrac{13}{4}, então
T = 273,16\cdot\dfrac{13}{4}=\dfrac{273,16\cdot 13}{4}.
Calcule 273,16\cdot 13:
273,16\cdot 13 = 273,16\cdot(10+3)=2731,6+819,48=3551,08.
Agora divida por 4:
T=\dfrac{3551,08}{4}=887,77\\ \text{K}.

Passo 6

Converter para Celsius e explicar a conversão. A relação entre Kelvin e Celsius é:
T_{\text{C}} = T_{\text{K}} - 273,15,
onde 273,15\\ \text{K} é a diferença fixa entre as escalas (por definição 0^\circ\text{C}=273,15\\ \text{K}). Portanto:
T_{\text{C}} = 887,77 - 273,15 = 614,62\\ ^\circ\text{C}.

Passo 7

Comentário sobre algarismos significativos e arredondamento (rápido e prático). Os dados originais têm precisão limitada ( P_3=50,0\\ \text{kPa} sugere 3 algarismos significativos), então, se for necessário apresentar a resposta com a mesma ordem de precisão, pode-se arredondar para três algarismos significativos:
T \approx 888\\ \text{K},\qquad T_{\text{C}} \approx 615\\ ^\circ\text{C}.
Mas a conta exata que fiz mostrou os valores com duas casas decimais acima.

Resposta

T = 887,77\\ \text{K}
T = 614,62\\ ^\circ\text{C}

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