Determine a condição de mínimo da intensidade I(y), escrevendo uma equação para y em funçaõ dos parâmetros do ítem anterior e de um inteiro arbitrário m.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a condição de mínimo da intensidade I(y), escrevendo uma equação para y em função dos parâmetros do item anterior e de um inteiro arbitrário m.”
Informações importantes e problema com o enunciado que preciso destacar:
  • O enunciado refere-se a “parâmetros do item anterior”, mas esses parâmetros não foram fornecidos aqui. Podem ser, por exemplo, \lambda (comprimento de onda), d (separação entre fendas), a (largura de fenda), D (distância até a tela), ou outros. Esses parâmetros são necessários para escrever a equação para y.
  • Também não foi especificado qual é a expressão física de I(y): trata-se de intensidade de interferência entre duas fendas? de difração por uma fenda única? de um sistema fenda dupla com difração de fenda finita (envelope)? de rede de difração? Cada caso dá uma condição de mínimo diferente.
Portanto: não há como dar UMA única equação numérica específica para y sem saber qual é o modelo (interferência simples, difração de fenda única, rede, etc.) e quais parâmetros concretos foram definidos no item anterior. Para ser útil na sua prova, vou:
  • Explicar de forma didática e passo a passo as relações gerais que aparecem nesses modelos típicos;
  • Deduzir as equações para y (cada uma em função dos parâmetros usuais e de um inteiro m);
  • Assim você poderá identificar qual delas corresponde ao seu item anterior e substituir os parâmetros que tiver.

Passo 2

Conceito básico que sempre aparece: relação entre diferença de caminho, diferença de fase e intensidade.
  • Quando duas ondas coerentes chegam a um ponto com diferença de caminho \delta, a diferença de fase \Delta\varphi entre elas é
\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\,\delta,
onde \lambda é o comprimento de onda. Explicando: uma onda percorre um comprimento de onda \lambda quando sua fase varia 2\pi. Logo, ao percorrer uma diferença de caminho \delta a fase muda em \frac{2\pi}{\lambda}\delta.
  • Em muitos arranjos com tela a distância D (com D muito maior que as dimensões das fendas), a coordenada na tela y e o ângulo \theta relacionam-se aproximadamente por
\sin\theta \approx \tan\theta \approx \frac{y}{D}.
Essa aproximação é chamada de aproximação do pequeno ângulo (válida quando |\theta| é pequeno).
A condição de mínimo de intensidade normalmente surge quando a soma das ondas interfere de tal forma que a amplitude resultante se anula (ou quando a função de envelope tem zeros). A forma exata depende do arranjo físico (fenda dupla, fenda única, rede, etc.). Vou derivar os casos mais comuns.

Passo 3

Caso A — Interferência de duas fendas (fenda dupla ideal, sem considerar largura finita das fendas)
  • Para duas fendas separadas por d, a diferença de caminho para direção \theta é \delta = d\sin\theta.
  • A intensidade resultante tem máximos quando a diferença de fase \Delta\varphi é múltiplo de 2\pi, e mínimos (interferência destrutiva completa) quando as ondas chegam em oposição de fase, o que ocorre quando a diferença de fase é um múltiplo ímpar de \pi:
\Delta\varphi = (2m+1)\pi,\qquad m\in\mathbb{Z}.
  • Substituindo \Delta\varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda}\,d\sin\theta obtemos
\frac{2\pi}{\lambda}\,d\sin\theta = (2m+1)\pi.
Simplificando,
d\sin\theta = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda.
  • Usando a aproximação \sin\theta\approx \dfrac{y}{D}, obtemos a posição y dos mínimos:
\boxed{\,y = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\dfrac{\lambda D}{d}\,,\qquad m\in\mathbb{Z}.}
Explicação intuitiva: os mínimos de interferência aparecem quando a diferença de caminho entre as ondas das duas fendas é igual a meio comprimento de onda, três meios, cinco meios, etc., levando a cancelamento.

Passo 4

Caso B — Difração por uma fenda única (fenda de largura a)
  • A intensidade no padrão de difração por uma fenda única é dada (comportamento principal) por
I(\theta)=I_0\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2, \qquad\text{onde}\qquad \beta=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}.
Aqui a é a largura da fenda, I_0 é a intensidade central, e \beta é um parâmetro adimensional que representa a fase acumulada ao atravessar a fenda.
  • Os mínimos ocorrem quando o numerador \sin\beta se anula (exceto em \beta=0), isto é:
\beta = m\pi,\qquad m=\pm 1,\pm 2,\ldots
Substituindo \beta,
\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda} = m\pi \quad\Rightarrow\quad a\sin\theta = m\lambda.
  • Com \sin\theta\approx \dfrac{y}{D} temos as posições dos mínimos:
\boxed{\,y = m\,\dfrac{\lambda D}{a}\,,\qquad m=\pm1,\pm2,\ldots\\ \text{(não existe }m=0\text{ para mínimo)}.}ãí
Explicação intuitiva: na fenda única os mínimos ocorrem quando a contribuição de partes distintas da fenda se cancela por fase através da largura a.

Passo 5

Caso C — Rede de difração com grande número N de ranhuras (separação entre ranhuras d)
  • A condição para máximos principais de uma rede é
d\sin\theta = m\lambda,\qquad m\in\mathbb{Z}.
  • Convertendo para y com a aproximação usual:
\boxed{\,y = m\,\dfrac{\lambda D}{d}\,,\qquad m\in\mathbb{Z}.}
Observação: para uma rede, os mínimos e a resolução têm comportamento mais complexo, mas a fórmula acima dá as posições dos máximos de difração; os “mínimos” de intensidade entre máximos obedecem a critérios diferentes dependendo do número de fendas e da largura das ranhuras.

Passo 6

Caso D — Fenda dupla com fendas de largura finita (interferência modulada por difração)
  • Se as fendas têm largura a e separação d, a intensidade total é o produto da envoltória de difração da fenda única e do termo de interferência:
I(\theta) = I_0\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2\cos^2\!\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right),
com \beta=\dfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda} e \Delta\varphi=\dfrac{2\pi d\sin\theta}{\lambda}.
  • Os zeros (mínimos) de I(\theta) podem vir de duas origens:
    1. Zeros do envelope: \beta = m\pi \Rightarrow a\sin\theta = m\lambda (mesma fórmula da fenda única).
    2. Zeros do termo de interferência: \cos\!\left(\dfrac{\Delta\varphi}{2}\right)=0 \Rightarrow \Delta\varphi=(2m+1)\pi \Rightarrow d\sin\theta = (m+\tfrac{1}{2})\lambda.
  • Assim, as posições y dos mínimos são dadas por uma das duas fórmulas (dependendo de qual fator zera primeiro):
\boxed{\,y = m\,\dfrac{\lambda D}{a}\quad\text{ou}\quad y=\left(m+\tfrac{1}{2}\right)\dfrac{\lambda D}{d}\,,\qquad m\in\mathbb{Z},}
sendo que o conjunto efetivo de mínimos é a união das posições onde qualquer desses fatores anula a intensidade.

Passo 7

Resumo e orientação prática para usar na prova (tudo passo a passo, sem pular etapas):
  • Identifique no enunciado quais parâmetros foram dados no item anterior: provavelmente \lambda, D, d, a, etc.
  • Identifique o modelo físico: fenda única? fenda dupla ideal? fenda dupla com largura finita? rede?
  • Escolha a fórmula correspondente entre as caixas resolvidas acima.
  • Substitua os parâmetros conhecidos e o inteiro m (atenção aos índices permitidos: por exemplo, para mínimos de fenda única m\neq0; para fenda dupla m pode ser qualquer inteiro).
  • Se precisar de y positivo na tela, escolha m apropriado (p.ex. m=0,1,2,\dots para o lado positivo).

Resposta

Caso de interferência de duas fendas (fenda dupla ideal):
y=\left(m+\tfrac{1}{2}\right)\dfrac{\lambda D}{d},\quad m\in\mathbb{Z}.
Caso de difração por fenda única (largura a):
y=m\,\dfrac{\lambda D}{a},\quad m=\pm1,\pm2,\ldots
Caso de rede de difração (espaçamento d, máximos principais):
y=m\,\dfrac{\lambda D}{d},\quad m\in\mathbb{Z}.
Caso de fenda dupla com fendas de largura finita (combinação envelope + interferência):
y=m\,\dfrac{\lambda D}{a}\quad\text{ou}\quad y=\left(m+\tfrac{1}{2}\right)\dfrac{\lambda D}{d},\quad m\in\mathbb{Z}.

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