(Dilataçāo Térmica em Estruturas) Uma trena de aço (
é calibrada para medir com precisāo a
. Um técnico de edificações utiliza essa trena para medir o comprimento de uma viga de concreto em um dia quente, onde a temperatura é de
, e encontra o valor de
. Qual é o erro de medição causado pela dilatação da trena e qual o comprimento real da viga?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar o erro de medição causado pela dilatação térmica da trena.
- Determinar o comprimento real da viga.
Informações fornecidas (peguei os valores do enunciado):
- Coeficiente linear de dilatação do aço:
. Observação: o enunciado apresentou a potência com um símbolo estranho; estou assumindo que o expoente correto é , valor típico para aço. - Temperatura de calibração da trena:
. - Temperatura de medição:
. - Leitura feita pelo técnico (valor indicado na trena):
.
Passo 2
Conceito básico e fórmula da dilatação linear (aulas rápidas!):
- Quando um corpo linear (como uma régua ou trena) tem sua temperatura alterada, o seu comprimento varia segundo a lei da dilatação linear:
onde:
-
é a variação de comprimento (em metros), -
é o coeficiente linear de dilatação (em ), -
é o comprimento inicial (no caso de uma unidade ou da parte considerada) medido na temperatura de calibração (em metros), -
é a variação de temperatura (em ).
Exemplo curto para fixar: se
,
e
, então
.
Passo 3
Como a dilatação da trena influencia a medição (explicação passo a passo):
- A trena foi calibrada a
. Nessa temperatura, a distância entre marcas que corresponde a vale exatamente (por convenção). - Aumentando a temperatura para
, cada “metro” marcado na trena fica maior: o novo comprimento de uma unidade de marca vale
- Se a trena indica
(por exemplo ), isso significa que o número de marcas é (unidades), e o comprimento real correspondente é
- Intuição: como cada marca ficou maior, para cobrir um mesmo comprimento físico a trena “conta” menos marcas do que contaria à temperatura de calibração. Logo o valor lido
é menor que o comprimento real; devemos multiplicar por para recuperar o comprimento verdadeiro.
Passo 4
Calcular a variação de temperatura:
Passo 5
Calcular o fator de dilatação da unidade da trena em
:
Primeiro calcule
:
Portanto
Passo 6
Calcular o comprimento real da viga usando a fórmula do Passo 3:
Fazendo a multiplicação:
Passo 7
Calcular o erro de medição (diferença entre comprimento real e o indicado):
Converter para milímetros:
Dica rápida de prova: uma forma rápida de estimar o erro sem calcular
primeiro é usar
, porque
é pequeno; aqui isso dá
, o mesmo valor.