(Dilataçāo Térmica em Estruturas) Uma trena de aço ( \left.\alpha_{a 0}=1,2 \times 10^{-\delta}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}\right) é calibrada para medir com precisāo a 20^{\circ} \mathrm{C}. Um técnico de edificações utiliza essa trena para medir o comprimento de uma viga de concreto em um dia quente, onde a temperatura é de 45^{\circ} \mathrm{C}, e encontra o valor de 12,000 \mathrm{~m}. Qual é o erro de medição causado pela dilatação da trena e qual o comprimento real da viga?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar o erro de medição causado pela dilatação térmica da trena.
  • Determinar o comprimento real da viga.
Informações fornecidas (peguei os valores do enunciado):
  • Coeficiente linear de dilatação do aço: \alpha_{\text{aço}} = 1{,}2\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}ç. Observação: o enunciado apresentou a potência com um símbolo estranho; estou assumindo que o expoente correto é -5, valor típico para aço.
  • Temperatura de calibração da trena: T_0 = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de medição: T = 45^\circ\mathrm{C}.
  • Leitura feita pelo técnico (valor indicado na trena): L_{\text{med}} = 12{,}000\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito básico e fórmula da dilatação linear (aulas rápidas!):
  • Quando um corpo linear (como uma régua ou trena) tem sua temperatura alterada, o seu comprimento varia segundo a lei da dilatação linear:
\Delta L = \alpha\, L_0\, \Delta T,
onde:
  • \Delta L é a variação de comprimento (em metros),
  • \alpha é o coeficiente linear de dilatação (em ^\circ\mathrm{C}^{-1}),
  • L_0 é o comprimento inicial (no caso de uma unidade ou da parte considerada) medido na temperatura de calibração (em metros),
  • \Delta T = T - T_0 é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}).
Exemplo curto para fixar: se \alpha=10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}, L_0=1\\ \mathrm{m} e \Delta T=10^\circ\mathrm{C}, então \Delta L=10^{-5}\cdot1\cdot10=10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}1\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

Como a dilatação da trena influencia a medição (explicação passo a passo):
  • A trena foi calibrada a T_0. Nessa temperatura, a distância entre marcas que corresponde a 1\\ \mathrm{m} vale exatamente 1\\ \mathrm{m} (por convenção).
  • Aumentando a temperatura para T, cada “metro” marcado na trena fica maior: o novo comprimento de uma unidade de marca vale
\text{unidade em }T = 1\\ \mathrm{m} + \Delta L_{\text{unidade}} = 1\cdot\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr)\\ \mathrm{m}.
  • Se a trena indica L_{\text{med}} (por exemplo 12{,}000\\ \mathrm{m}), isso significa que o número de marcas é N = L_{\text{med}} (unidades), e o comprimento real correspondente é
L_{\text{real}} = N \times \bigl(\text{unidade em }T\bigr) = L_{\text{med}}\cdot\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr).
  • Intuição: como cada marca ficou maior, para cobrir um mesmo comprimento físico a trena “conta” menos marcas do que contaria à temperatura de calibração. Logo o valor lido \,L_{\text{med}}\, é menor que o comprimento real; devemos multiplicar por \,(1+\alpha\Delta T)\, para recuperar o comprimento verdadeiro.

Passo 4

Calcular a variação de temperatura:
\Delta T = T - T_0 = 45^\circ\mathrm{C} - 20^\circ\mathrm{C} = 25^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular o fator de dilatação da unidade da trena em 45^\circ\mathrm{C}:
1 + \alpha\,\Delta T = 1 + \bigl(1{,}2\times10^{-5}\bigr)\times 25.
Primeiro calcule \alpha\,\Delta T:
\alpha\,\Delta T = 1{,}2\times10^{-5}\times 25 = 1{,}2\times25\times10^{-5} = 30\times10^{-5} = 3{,}0\times10^{-4}.
Portanto
1 + \alpha\,\Delta T = 1 + 3{,}0\times10^{-4} = 1{,}0003.

Passo 6

Calcular o comprimento real da viga usando a fórmula do Passo 3:
L_{\text{real}} = L_{\text{med}}\cdot\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr) = 12{,}000\\ \mathrm{m}\times 1{,}0003.
Fazendo a multiplicação:
L_{\text{real}} = 12{,}000 \times 1{,}0003 = 12{,}000 + 12{,}000\times 0{,}0003 = 12{,}000 + 0{,}0036 = 12{,}0036\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcular o erro de medição (diferença entre comprimento real e o indicado):
\text{Erro} = L_{\text{real}} - L_{\text{med}} = 12{,}0036\\ \mathrm{m} - 12{,}000\\ \mathrm{m} = 0{,}0036\\ \mathrm{m}.
Converter para milímetros:
0{,}0036\\ \mathrm{m} = 3{,}6\\ \mathrm{mm}.
Dica rápida de prova: uma forma rápida de estimar o erro sem calcular L_{\text{real}} primeiro é usar \text{Erro} \approx L_{\text{med}}\times \alpha\,\Delta T, porque \alpha\Delta T é pequeno; aqui isso dá 12\times 3{,}0\times10^{-4}=0{,}0036\\ \mathrm{m}, o mesmo valor.

Resposta

\text{Erro de medição} = 0{,}0036\\ \mathrm{m} = 3{,}6\\ \mathrm{mm}çã\n
\text{Comprimento real da viga} = 12{,}0036\\ \mathrm{m}

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