Calqute as integrais indefinidas abaixo.
integral 4 x^3 raizx^4+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral 4x^3 raizx^4+1 , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com integrais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é uma forma de simplificar a integral trocando uma parte dela por uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observa que dentro da raiz temos x^4 + 1, e sua derivada é 4x^3, que aparece multiplicando a raiz na integral. Então, vamos definir:
u = x^4 + 1
Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
du = dudx , dx = 4x^3 , dx

Passo 3

Perceba que 4x^3 , dx é exatamente o que está na nossa integral original. Assim, podemos substituir na integral:
integral 4x^3 raizx^4+1 , dx = integral raizu , du
Isso simplifica muito a nossa integral!

Passo 4

Agora, vamos integrar raizu em relação a u. Lembrando que raizu = u^1/2, a integral fica:
integral u^1/2 , du = u^3/232 + C = 23 u^3/2 + C

Passo 5

Por fim, vamos desfazer a substituição que fizemos no início, voltando para a variável original x:
23 u^3/2 + C = 23 (x^4 + 1)^3/2 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral 4x^3 raizx^4+1 , dx = 23 (x^4 + 1)^3/2 + C

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