Calular:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conhecimentos vamos precisar. Queremos calcular a integral tripla de
sobre a região
, que é definida por
e
. Para resolver isso, vamos utilizar coordenadas esféricas, que facilitam a integração em regiões esféricas, além de analisar as restrições que definem a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região de integração
. A condição
descreve uma esfera com raio
. A segunda condição,
, define uma região acima de um paraboloide. Nosso objetivo é encontrar os limites dessas regiões para configurar a integral.
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas esféricas, onde as coordenadas
são expressas como:
E o elemento de volume é:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para
,
e
.
- Para
: Como a esfera tem raio , varia de a . - Para
: Como a região é simétrica em torno do eixo , varia de a . - Para
: Precisamos encontrar até que ponto o paraboloide interfere na esfera. Vamos resolver a igualdade na esfera.
Passo 5
Substituindo
na equação do paraboloide:
Simplificando:
Como
, temos:
Isso nos ajuda a determinar o limite máximo de
.
Passo 6
Resolvendo para
:
Isso resulta em um valor específico para
, que pode ser encontrado resolvendo a equação quadrática, mas para simplificar, usamos:
Passo 7
Agora que temos os limites, podemos configurar a integral tripla:
Passo 8
Vamos expandir o integrando
:
Em coordenadas esféricas:
Passo 9
Devido à simetria da região de integração, os termos com
,
e
se anulam quando integrados sobre
de
a
. Portanto, a integral simplifica para:
Passo 10
Vamos integrar em
:
Passo 11
Substituindo de volta na integral:
Integrando em
:
Usando a identidade
:
Passo 12
Agora, a integral fica:
Simplificando:
Resposta
A integral tripla vale
.