Calular: integral triplaB(x+y+z)^2 d x d y d z
B=x^2+y^2+z^2 <= 3 ; z >= x^2+y^22

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conhecimentos vamos precisar. Queremos calcular a integral tripla de (x + y + z)^2 sobre a região B, que é definida por x^2 + y^2 + z^2 <= 3 e z >= x^2 + y^22. Para resolver isso, vamos utilizar coordenadas esféricas, que facilitam a integração em regiões esféricas, além de analisar as restrições que definem a região B.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região de integração B. A condição x^2 + y^2 + z^2 <= 3 descreve uma esfera com raio raiz3. A segunda condição, z >= x^2 + y^22, define uma região acima de um paraboloide. Nosso objetivo é encontrar os limites dessas regiões para configurar a integral.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas esféricas, onde as coordenadas (x, y, z) são expressas como:
x = rho sin phi cos theta
y = rho sin phi sin theta
z = rho cos phi
E o elemento de volume é:
dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para rho, phi e theta.
  • Para rho: Como a esfera tem raio raiz3, rho varia de 0 a raiz3.
  • Para theta: Como a região é simétrica em torno do eixo z, theta varia de 0 a 2pi.
  • Para phi: Precisamos encontrar até que ponto o paraboloide interfere na esfera. Vamos resolver a igualdade z = x^2 + y^22 na esfera.

Passo 5

Substituindo z = rho cos phi na equação do paraboloide:
rho cos phi = (rho sin phi cos theta)^2 + (rho sin phi sin theta)^22
Simplificando:
rho cos phi = rho^2 sin^2 phi2
2 cos phi = rho sin^2 phi
rho = 2 cos phisin^2 phi
Como rho <= raiz3, temos:
2 cos phisin^2 phi <= raiz3
Isso nos ajuda a determinar o limite máximo de phi.

Passo 6

Resolvendo para phi:
2 cos phisin^2 phi <= raiz3
2 cos phi <= raiz3 sin^2 phi
2 cos phi <= raiz3 (1 - cos^2 phi)
2 cos phi + raiz3 cos^2 phi - raiz3 <= 0
Isso resulta em um valor específico para phi, que pode ser encontrado resolvendo a equação quadrática, mas para simplificar, usamos:
phi <= arctan(raiz63)

Passo 7

Agora que temos os limites, podemos configurar a integral tripla:
integral triplaB (x + y + z)^2 dV = integral0^2pi integral0^arctan(raiz63) integral0^raiz3 (x + y + z)^2 cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta

Passo 8

Vamos expandir o integrando (x + y + z)^2:
(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz
Em coordenadas esféricas:
x^2 + y^2 + z^2 = rho^2
xy = rho^2 sin^2phi cos theta sin theta
xz = rho^2 sin phi cos theta cos phi
yz = rho^2 sin phi sin theta cos phi

Passo 9

Devido à simetria da região de integração, os termos com xy, xz e yz se anulam quando integrados sobre theta de 0 a 2pi. Portanto, a integral simplifica para:
integral triplaB (x + y + z)^2 dV = integral0^2pi integral0^arctan(raiz63) integral0^raiz3 rho^4 sin phi , drho , dphi , dtheta

Passo 10

Vamos integrar em rho:
integral0^raiz3 rho^4 drho = [ rho^55 ]0^raiz3 = (raiz3)^55 = 3^5/25 = 9 raiz35

Passo 11

Substituindo de volta na integral:
9 raiz35 integral0^2pi integral0^arctan(raiz63) sin phi , dphi , dtheta
Integrando em phi:
integral0^arctan(raiz63) sin phi , dphi = [ -cos phi ]0^arctan(raiz63) = -cos(arctan(raiz63)) + 1
Usando a identidade cos(arctan(a)) = 1raiz1 + a^2:
1 - 1raiz1 + (raiz63)^2 = 1 - 1raiz9 + 69 = 1 - 3raiz15

Passo 12

Agora, a integral fica:
9 raiz35 cdot (1 - 3raiz15) cdot integral0^2pi dtheta = 9 raiz35 cdot (1 - 3raiz15) cdot 2pi
Simplificando:
18 pi raiz35 (1 - 3raiz15) = 54 pi5 (raiz15 - 3raiz15) = 54 pi5 (1 - 1raiz5)

Resposta

A integral tripla vale dfrac54,pi5 (1 - dfrac1raiz5,).

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