Questão 6: Aplicações
(b) Ao acoplar um corpo de massa
em uma mola com constante elástica
, o movimento desse sistema vibratório massa-mola pode ser descrito pela seguinte equação:
em que
é a distensão da mola em relação ao ponto de equilíbrio,
é uma constante de amortecimento e
representa uma força externa. Além disso,
e
representam, respectivamente, a velocidade e a aceleração do corpo acoplado à mola.
Desconsiderando qualquer força externa, determine a equação do movimento de um sistema massa-mola em que a mola possui uma constante elástica de
, o corpo possui uma massa de 5 kg e há uma força de amortecimento igual a 35 vezes a velocidade do corpo (
). Considere que o corpo parte (no instante
) da posição de equilíbrio com uma velocidade de
.
(b) Ao acoplar um corpo de massa
Desconsiderando qualquer força externa, determine a equação do movimento de um sistema massa-mola em que a mola possui uma constante elástica de
Passo 1
O enunciado pede a equação de movimento de um sistema massa-mola amortecido sem força externa, com constantes dadas: massa
kg, constante elástica
N/cm e amortecimento proporcional à velocidade de coeficiente
(em unidades compatíveis com cm/s). Vamos usar teoria de EDOs lineares de segunda ordem para sistemas massa-mola amortecidos.
Passo 2
A equação geral de um sistema massa-mola amortecido sem força externa é
Substituindo
,
e
(todas as grandezas em cm, s e N/cm quando pertinente), obtemos
Podemos dividir tudo por 5 para simplificar:
Passo 3
Para resolver, montamos a equação característica associada:
Esse polinômio fatoriza como
portanto as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes reais e distintas, a solução geral da EDO é
Passo 5
Usamos as condições iniciais:
e
cm/s. Primeiro, em
:
Logo
.
Passo 6
Agora derivamos
:
Em
temos
Substituindo
dá
Passo 7
Portanto a solução particular fica