Questão 6: Aplicações
(b) Ao acoplar um corpo de massa m em uma mola com constante elástica k, o movimento desse sistema vibratório massa-mola pode ser descrito pela seguinte equação:
m d^2 xd t^2+beta d xd t+k x=f(t)
em que x é a distensão da mola em relação ao ponto de equilíbrio, beta é uma constante de amortecimento e f(t) representa uma força externa. Além disso, d xd t e d^2 xd t^2 representam, respectivamente, a velocidade e a aceleração do corpo acoplado à mola.
Desconsiderando qualquer força externa, determine a equação do movimento de um sistema massa-mola em que a mola possui uma constante elástica de 50 N / cm, o corpo possui uma massa de 5 kg e há uma força de amortecimento igual a 35 vezes a velocidade do corpo ( em cm / s ). Considere que o corpo parte (no instante t=0 ) da posição de equilíbrio com uma velocidade de 9 cm / s.

Passo 1

O enunciado pede a equação de movimento de um sistema massa-mola amortecido sem força externa, com constantes dadas: massa m=5 kg, constante elástica k=50 N/cm e amortecimento proporcional à velocidade de coeficiente beta=35 (em unidades compatíveis com cm/s). Vamos usar teoria de EDOs lineares de segunda ordem para sistemas massa-mola amortecidos.

Passo 2

A equação geral de um sistema massa-mola amortecido sem força externa é
mddot x + betadot x + kx = 0
Substituindo m=5, beta=35 e k=50 (todas as grandezas em cm, s e N/cm quando pertinente), obtemos
5ddot x + 35dot x + 50 x = 0
Podemos dividir tudo por 5 para simplificar:
ddot x + 7dot x + 10x = 0

Passo 3

Para resolver, montamos a equação característica associada:
r^2 + 7r + 10 = 0
Esse polinômio fatoriza como
(r+5)(r+2)=0
portanto as raízes são r1=-5 e r2=-2.

Passo 4

Com as raízes reais e distintas, a solução geral da EDO é
x(t)=C1e^-5t+C2e^-2t

Passo 5

Usamos as condições iniciais: x(0)=0 e dot x(0)=9 cm/s. Primeiro, em t=0:
x(0)=C1+C2=0
Logo C2=-C1.

Passo 6

Agora derivamos x(t):
dot x(t)=-5C1e^-5t-2C2e^-2t
Em t=0 temos
dot x(0)=-5C1-2C2=9
Substituindo C2=-C1
-5C1+2C1=-3C1=9 Rightarrow C1=-3, C2=3

Passo 7

Portanto a solução particular fica
x(t)=-3e^-5t+3e^-2t=3l(e^-2t-e^-5tr)

Resposta

x(t)=3l(e^-2t-e^-5tr)

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