Uma fundação transmite um acréscimo de tensão vertical, no centro da camada, de 350 kPa e está situada a 1 m de profundidade, em uma camada arenosa de 6 m de espessura. O nível d’água está 4 m abaixo da superfície do terreno. Abaixo da areia existe uma camada argilosa de 6 m de espessura sobrejacente a uma camada impermeável. Determine o recalque devido ao adensamento na argila e o tempo necessário para que ocorra 90 \% de recalque. O peso específico saturado tanto para areia quanto para argila é 19 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{~m}_{\mathrm{v}}=9,4 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{kN}. Acima do NA o peso específico da areia é 17 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}. O coeficiente de adensamento é 3,5 \times 10^{-8} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}; a relação entre índice de vazios inicial e tensão efetiva (kPa) para argila é:
e_{o}=0,72-0,18 \log \frac{\sigma^{\prime}}{100}

Passo 1

  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o recalque (assentamento) devido ao adensamento na camada de argila.
    • Determinar o tempo necessário para ocorrer 90\% desse recalque (ou seja, U=0{,}9).
  • Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente, como estão no enunciado):
    • Acréscimo de tensão vertical no centro da camada (argila): \Delta\sigma_{v} = 350\\ \mathrm{kPa}. (Peguei esse valor diretamente do enunciado.)
    • A fundação está a 1\\ \mathrm{m} de profundidade, em uma camada de areia de espessura 6\\ \mathrm{m} (então a areia vai de 0 até 6\\ \mathrm{m} de profundidade).
    • O nível d’água (NA) está a 4\\ \mathrm{m} abaixo da superfície.
    • Abaixo da areia, há uma camada de argila de espessura 6\\ \mathrm{m} sobre uma camada impermeável (portanto a argila vai de 6 a 12\\ \mathrm{m} de profundidade).
    • Peso específico saturado da areia e da argila: \gamma_{\text{sat}} = 19\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.
    • Peso específico da areia acima do NA: \gamma_{\text{areia, a. NA}} = 17\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.
    • Coeficiente de adensamento (coeficiente de consolidação): c_v = 3{,}5\times 10^{-8}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
    • Coeficiente de compressibilidade (dado): m_v = 9{,}4\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{kN}.
    • Relação entre índice de vazios inicial e tensão efetiva (para a argila): e_{0}=0{,}72-0{,}18\log\frac{\sigma'}{100}(a função log é base 10; peguei essa fórmula diretamente do enunciado.)
  • Observações necessárias para começar (sem resolver ainda):
    • A argila está totalmente saturada (está abaixo do NA).
    • A argila tem base impermeável abaixo dela, e acima está a areia permeável → isso implica drenagem preferencialmente pelo topo da argila (caso típico: escoamento de água pelo contato com a areia). Logo, trata-se de adensamento com drenagem por uma face (esquema de DRENAGEM SIMPLES — “single drainage”).
    • Para calcular o assentamento por adensamento usamos relações entre variação do índice de vazios e variação de tensão efetiva ou, equivalentemente, usamos m_v. Para o tempo até 90\% usamos c_v e o fator de tempo de Terzaghi.

Passo 2

(Decisão de método para o cálculo do recalque)
  • Temos duas maneiras simples de obter o recalque principal:
    1. Usar diretamente a fórmula linear com m_v: \Delta H = m_v \, H \, \Delta\sigma'onde H é a espessura da argila e \Delta\sigma' é a variação da tensão efetiva.
    2. Usar a relação e(\sigma') (fornecida) para calcular o índice de vazios inicial e_0 e o índice de vazios final e_f após a variação de tensão, obter \Delta e e então \Delta H = H\frac{\Delta e}{1+e_0}.
  • Escolha do método: como o enunciado forneceu explicitamente a relação e_0(\sigma'), ela é mais fundamentada fisicamente (mostra como e varia com \sigma') e permite calcular diretamente a variação do índice de vazios entre o estado inicial e o estado final (após a dissipação das sobrepressões). Por isso vou usar a rota pela relação e(\sigma') como método principal. Vou, porém, mostrar também o resultado direto usando m_v como comparação (já que m_v foi dado).
  • Antes de usar a relação e(\sigma') precisamos do valor da tensão efetiva inicial \sigma'_i no centro da argila (ponto onde foi dado \Delta\sigma_v). Vou calcular \sigma'_i somando tensões totais e subtraindo a pressão de poros:
    • Calcular tensão vertical total até a profundidade do centro da argila: o centro da argila está a 6\\ \mathrm{m} + 3\\ \mathrm{m} = 9\\ \mathrm{m} de profundidade.
    • Contribuições de tensões totais:
      • camada 0–4 m (areia acima do NA): \gamma = 17\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3 → contribuição 4\cdot 17 = 68\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
      • camada 4–6 m (areia saturada): \gamma_{\text{sat}} = 19\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3 → contribuição 2\cdot 19 = 38\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
      • camada 6–9 m (parte superior da argila até o centro): \gamma_{\text{sat}} = 19\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3 → contribuição 3\cdot 19 = 57\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
    • Soma das tensões totais até 9\\ \mathrm{m}: \sigma_v = 68 + 38 + 57 = 163\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
    • Pressão de poros em 9\\ \mathrm{m} (tomando \gamma_w = 9{,}81\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3, que é o valor padrão da água): u = \gamma_w (z - z_{NA}) = 9{,}81\cdot(9-4) = 9{,}81\cdot 5 = 49{,}05\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.(Peguei 9{,}81\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3 como \gamma_w por ser convencional quando não informado.)
    • Logo a tensão efetiva inicial no ponto central da argila é: \sigma'_i = \sigma_v - u = 163 - 49{,}05 = 113{,}95\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2 \approx 114\\ \mathrm{kPa}.

Passo 3

(Cálculo do índice de vazios inicial e final usando a relação fornecida)
  • A relação fornecida é e_{0}=0{,}72-0{,}18\log\frac{\sigma'}{100}.Aqui:
    • e_0 é o índice de vazios no estado correspondente à tensão efetiva \sigma' (essa é a relação dada no enunciado).
    • A log é base 10.
  • Calcular e_0 para \sigma'_i = 113{,}95\\ \mathrm{kPa}: \log\frac{\sigma'_i}{100} = \log\frac{113{,}95}{100} = \log(1{,}1395) \approx 0{,}056.
e_0 = 0{,}72 - 0{,}18 \cdot 0{,}056 \approx 0{,}72 - 0{,}01008 = 0{,}70992 \approx 0{,}710.
  • A tensão efetiva final após a dissipação total das sobrepressões será \sigma'_f = \sigma'_i + \Delta\sigma_v = 113{,}95 + 350 = 463{,}95\\ \mathrm{kPa}.
  • Calcular e_f com a mesma fórmula: \log\frac{\sigma'_f}{100} = \log(4{,}6395) \approx 0{,}666,
e_f = 0{,}72 - 0{,}18\cdot 0{,}666 \approx 0{,}72 - 0{,}1199 = 0{,}6001 \approx 0{,}600.
  • Variação do índice de vazios: \Delta e = e_f - e_0 = 0{,}6001 - 0{,}70992 = -0{,}10982 \approx -0{,}1098.(o sinal negativo indica redução do índice de vazios, i.e., compactação).

Passo 4

(Cálculo do recalque \Delta H usando \Delta e)
  • Fórmula relacional entre assentamento e variação do índice de vazios: \Delta H = H\frac{\Delta e}{1+e_0},onde:
    • H é a espessura da camada que adensa (para a argila H=6\\ \mathrm{m} — peguei isso do enunciado),
    • e_0 é o índice de vazios inicial (calculado no passo anterior),
    • \Delta e é a variação de e.
  • Substituindo valores: \Delta H = 6\cdot\frac{-0{,}10982}{1+0{,}70992} = 6\cdot\frac{-0{,}10982}{1{,}70992}.Calcule o denominador: 1{,}70992 \approx 1{,}7099.Então \frac{-0{,}10982}{1{,}70992} \approx -0{,}06423.Multiplicando por 6: \Delta H \approx -0{,}3854\\ \mathrm{m}.
  • Portanto o recalque por adensamento (primário) na argila, segundo a lei e(\sigma') fornecida, é aproximadamente \Delta H \approx 0{,}385\\ \mathrm{m}.
  • Observação didática: essa é a abordagem mais consistente quando se tem a lei e vs \sigma', porque ela integra a não-linearidade da compressibilidade com a tensão; usar m_v constante é uma aproximação linear que às vezes superestima ou subestima o assentamento dependendo do intervalo de tensões.

Passo 5

(Cálculo alternativo rápido usando m_v e comparação — explicando por que pode divergir)
  • Fórmula direta com m_v: \Delta H_{m_v} = m_v\, H\, \Delta\sigma' .Substituindo m_v = 9{,}4\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{kN}, H=6\\ \mathrm{m}, \Delta\sigma' = 350\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2: \Delta H_{m_v} = 9{,}4\times 10^{-4} \cdot 6 \cdot 350 = 9{,}4\times 10^{-4}\cdot 2100 = 1{,}974\\ \mathrm{m}.
  • Comentário: esse resultado é muito maior que o obtido usando a relação e(\sigma') (aprox. 0{,}385\\ \mathrm{m}). A diferença ocorre porque m_v constante implica compressibilidade igual em toda a faixa de tensões, enquanto a lei e(\sigma') mostra uma diminuição de compressibilidade com o aumento da tensão (comportamento típico). Dado que o enunciado disponibilizou a relação e(\sigma'), a abordagem com e-log é mais confiável aqui. Eu deixo esse cálculo como comparação para você entender a sensibilidade do resultado a suposições sobre m_v.

Passo 6

(Cálculo do tempo para 90\% de adensamento)
  • Primeiro definimos o comprimento do caminho de drenagem H_d. Como a argila está sobre uma camada impermeável e o topo da argila está em contato com areia permeável, a drenagem se dá somente pelo topo → drenagem simples (single drainage). Nesse caso o comprimento de drenagem é: H_d = H = 6\\ \mathrm{m}.
  • A relação entre o fator de tempo T_v, c_v, t e H_d é: T_v = \frac{c_v\, t}{H_d^2}.Nós precisamos do t que corresponde a U=0{,}9. Para U=90\% (grau de adensamento 0{,}9) o valor tabulado do fator de tempo é (da tabela de Terzaghi): T_v(U=0{,}9)\approx 0{,}848.(Esse é um valor padrão usado em problemas de adensamento; estou usando-o aqui porque é o que relaciona exatamente o tempo com U=0{,}9.)
  • Isolando t: t = T_v\frac{H_d^2}{c_v} = 0{,}848\cdot\frac{6^2}{3{,}5\times 10^{-8}}.Calcule passo a passo: 6^2 = 36,
0{,}848\cdot 36 = 30{,}528,
t = \frac{30{,}528}{3{,}5\times 10^{-8}} = 8{,}7222857\times 10^{8}\\ \mathrm{s} \approx 8{,}72\times 10^{8}\\ \mathrm{s}.
  • Converter para dias e anos (para interpretação prática):
    • Segundos por dia: 86\,400. Então t_{\text{dias}} = \frac{8{,}722\times 10^{8}}{86\,400} \approx 10\,099\\ \mathrm{dias}.
    • Em anos (tomando 365 dias/ano): t_{\text{anos}} \approx \frac{10\,099}{365} \approx 27{,}7\\ \mathrm{anos}.
  • Comentário didático: o tempo calculado é relativamente grande ( \sim 28 anos) porque c_v é muito pequeno (argila pouco permeável) e o comprimento de drenagem é grande (6 m). Isso mostra que adensamentos profundos em argilas espessas e com baixo c_v podem levar décadas para quase completar.

Resposta

\Delta H \approx 0{,}385\\ \mathrm{m}
t_{90\%} \approx 8{,}72\times 10^{8}\\ \mathrm{s} \approx 10\,099\\ \mathrm{dias} \approx 27{,}7\\ \mathrm{anos}

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