Um edifício A recalcou
em 3 anos. Sabe-se que o recalque total será de 30 cm . Um edifício B construído sobre uma camada da mesma argila, mas
mais espessa, provoca o mesmo aumento médio de pressão. Estime o recalque total do prédio B e o recalque em 3 anos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Um edifício A recalcou
em anos. - O recalque total (assintótico) do edifício A é
. - Um edifício B está sobre a mesma argila, mas a camada é
mais espessa que em A. Vou chamar essa razão de espessura , ou seja, . - O aumento médio de pressão causado por B é o mesmo que o causado por A (mesmo
).
Perguntas:
- Estime o recalque total do prédio B.
- Estime o recalque do prédio B em
anos.
Passo 2
Princípio básico (aula mastigada): para assentamento por consolidação primária, se a compressibilidade do solo (
ou equivalente) e o incremento de tensão
são os mesmos, o recalque total
é diretamente proporcional à espessura da camada
. Uma forma simples e usual da fórmula é
onde
-
é o recalque total, -
é o coeficiente de compressibilidade volumétrica (mesmo para A e B, pois é a mesma argila), -
é o aumento médio de tensão (igual para A e B, por hipótese), -
é a espessura do estrato que consolida.
Comoe são iguais, temos .
Passo 3
Aplicando essa proporcionalidade ao caso: como
com
, o recalque total de
é
Substituindo os números conhecidos (
),
Passo 4
Agora vamos estimar o recalque após
anos. Conceito importante (aula rápida): o recalque no tempo
é
, onde
é o grau de consolidação (fração do recalque final já ocorrido). Ou seja,
No problema conhecemos para A:
e
, então
Passo 5
Relação tempo–consolidação (explicando devagar): define-se o fator de tempo para consolidação unidimensional
onde
-
é o coeficiente de consolidação (mesmo para A e B, pois mesma argila), -
é o tempo (aqui anos), -
é o caminho de drenagem característico (proporcional à espessura ; para dupla drenagem , etc.). O importante é que escala com , logo .
Para pequenos a médios valores deexiste uma aproximação simples entre e (fórmula de raiz-do-tempo, útil em provas e estimativas iniciais):
Vou usar essa aproximação porque é a mais prática e válida para
na faixa até algo como
–
(aqui
, então é apropriada).
Passo 6
Usamos a aproximação para inverter e obter
para A. Da fórmula
temos
Para A:
Calculemos (mostrando conta):
Passo 7
Como
, para o mesmo tempo
e mesmo
temos
Com
temos
, então
Passo 8
Agora obtemos o grau de consolidação para B usando a mesma aproximação:
Calculando:
Passo 9
O recalque de B aos
anos é
Arredondando de forma coerente com os dados originais, isso dá
. Observação elegante (interpretativa e útil em prova): porque
e, na aproximação raiz-do-tempo,
, o produto
fica quase independente de
. Portanto, para este caso simples e sob as hipóteses adotadas, o recalque após um mesmo tempo
fica praticamente igual entre A e B — isto explica numericamente por que obtivemos aproximadamente
também para B.