Um edifício A recalcou 10,2 \mathrm{~cm} em 3 anos. Sabe-se que o recalque total será de 30 cm . Um edifício B construído sobre uma camada da mesma argila, mas 20 \% mais espessa, provoca o mesmo aumento médio de pressão. Estime o recalque total do prédio B e o recalque em 3 anos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Um edifício A recalcou 10,2\\ \mathrm{cm} em 3 anos.
  • O recalque total (assintótico) do edifício A é 30\\ \mathrm{cm}.
  • Um edifício B está sobre a mesma argila, mas a camada é 20\% mais espessa que em A. Vou chamar essa razão de espessura \alpha=1,2, ou seja, H_B=\alpha H_A.
  • O aumento médio de pressão causado por B é o mesmo que o causado por A (mesmo \Delta\sigma).
    Perguntas:
  1. Estime o recalque total do prédio B.
  2. Estime o recalque do prédio B em 3 anos.

Passo 2

Princípio básico (aula mastigada): para assentamento por consolidação primária, se a compressibilidade do solo ( m_v ou equivalente) e o incremento de tensão \Delta\sigma são os mesmos, o recalque total S_{tot} é diretamente proporcional à espessura da camada H. Uma forma simples e usual da fórmula é
S = m_v\,\Delta\sigma\,H,
onde
  • S é o recalque total,
  • m_v é o coeficiente de compressibilidade volumétrica (mesmo para A e B, pois é a mesma argila),
  • \Delta\sigma é o aumento médio de tensão (igual para A e B, por hipótese),
  • H é a espessura do estrato que consolida.
    Como \Delta\sigma e m_v são iguais, temos S\propto H.

Passo 3

Aplicando essa proporcionalidade ao caso: como H_B=\alpha H_A com \alpha=1,2, o recalque total de B é
S_{B,tot}=\alpha\,S_{A,tot}.
Substituindo os números conhecidos ( S_{A,tot}=30\\ \mathrm{cm}),
S_{B,tot}=1,2\cdot 30\\ \mathrm{cm}=36\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Agora vamos estimar o recalque após 3 anos. Conceito importante (aula rápida): o recalque no tempo t é S(t)=U(t)\,S_{tot}, onde U(t) é o grau de consolidação (fração do recalque final já ocorrido). Ou seja,
U(t)=\frac{S(t)}{S_{tot}}.
No problema conhecemos para A: S_A(3\\ \text{anos})=10,2\\ \mathrm{cm} e S_{A,tot}=30\\ \mathrm{cm}, então
U_A(3\\ \text{anos})=\frac{10,2}{30}=0,34.

Passo 5

Relação tempo–consolidação (explicando devagar): define-se o fator de tempo para consolidação unidimensional
T_v=\frac{c_v\,t}{H_{\text{dr}}^{2}},
onde
  • c_v é o coeficiente de consolidação (mesmo para A e B, pois mesma argila),
  • t é o tempo (aqui 3 anos),
  • H_{\text{dr}} é o caminho de drenagem característico (proporcional à espessura H; para dupla drenagem H_{\text{dr}}=H/2, etc.). O importante é que H_{\text{dr}} escala com H, logo H_{\text{dr},B}=\alpha H_{\text{dr},A}.
    Para pequenos a médios valores de T_v existe uma aproximação simples entre U e T_v (fórmula de raiz-do-tempo, útil em provas e estimativas iniciais):
U \approx 2\sqrt{\frac{T_v}{\pi}}.
Vou usar essa aproximação porque é a mais prática e válida para U na faixa até algo como 0,5 0,6 (aqui U_A=0,34, então é apropriada).

Passo 6

Usamos a aproximação para inverter e obter T_v para A. Da fórmula
U=2\sqrt{\frac{T_v}{\pi}}
temos
T_v=\frac{\pi}{4}\,U^{2}.
Para A:
T_{A}=\frac{\pi}{4}\,(0,34)^{2}.
Calculemos (mostrando conta):
(0,34)^{2}=0,1156,\qquad \frac{\pi}{4}\approx 0,785398,
T_{A}\approx 0,785398\cdot 0,1156\approx 0,0908.

Passo 7

Como H_{\text{dr},B}=\alpha H_{\text{dr},A}, para o mesmo tempo t e mesmo c_v temos
T_{B}=\frac{c_v\,t}{H_{\text{dr},B}^{2}}=\frac{c_v\,t}{(\alpha H_{\text{dr},A})^{2}}=\frac{T_{A}}{\alpha^{2}}.
Com \alpha=1,2 temos \alpha^{2}=1,44, então
T_{B}=\frac{0,0908}{1,44}\approx 0,0630.

Passo 8

Agora obtemos o grau de consolidação para B usando a mesma aproximação:
U_{B}\approx 2\sqrt{\frac{T_{B}}{\pi}}=2\sqrt{\frac{0,0630}{\pi}}.
Calculando:
\frac{0,0630}{\pi}\approx 0,02005,\qquad \sqrt{0,02005}\approx 0,1416,
U_{B}\approx 2\cdot 0,1416\approx 0,2832\quad(\text{ou }28{,}32\%).

Passo 9

O recalque de B aos 3 anos é
S_B(3\\ \text{anos})=U_B\;S_{B,tot}=0,2832\cdot 36\\ \mathrm{cm}\approx 10,195\\ \mathrm{cm}.
Arredondando de forma coerente com os dados originais, isso dá 10,2\\ \mathrm{cm}. Observação elegante (interpretativa e útil em prova): porque S_{tot}\propto H e, na aproximação raiz-do-tempo, U\propto 1/H, o produto S(t)=S_{tot}\,U fica quase independente de H. Portanto, para este caso simples e sob as hipóteses adotadas, o recalque após um mesmo tempo t fica praticamente igual entre A e B — isto explica numericamente por que obtivemos aproximadamente 10,2\\ \mathrm{cm} também para B.

Resposta

S_{B,tot}=36\\ \mathrm{cm}
S_B(3\\ \text{anos})\approx 10,2\\ \mathrm{cm}

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