Uma camada esférica de raio interno
e raio externo
, possui densidade volumétrica
, onde
é uma constante e
é a distância de um ponto da camada ao seu centro. No centro da cavidade envolvida pela esfera existe uma carga pontual
. a) Qual deveria ser o valor de
para que o campo elétrico na região
tenha intensidade constante? b) Qual o valor do campo? Resp. a)
; b)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma camada esférica com densidade volumétrica que varia com a distância ao centro. A gente precisa encontrar o valor da constante $ A $ para que o campo elétrico na região entre os raios $ a $ e $ b $ seja constante. Além disso, vamos descobrir qual é esse campo elétrico. Para resolver, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a configuração. Temos uma esfera com raio interno $ a $ e raio externo $ b $. Dentro dessa camada, a densidade volumétrica de carga é dada por $ \rho = \frac{A}{r} $, onde $ r $ é a distância do ponto ao centro da esfera. No centro da cavidade, há uma carga pontual $ q $.
Passo 3
Para achar o campo elétrico na região $ a < r < b $, vamos aplicar a Lei de Gauss, que nos permite calcular campos elétricos simétricos de forma mais fácil. A Lei de Gauss diz que:
Aqui, $ Q_{enc} $ é a carga total dentro da superfície gaussiana.
Passo 4
Vamos escolher uma superfície gaussiana esférica com raio $ r $ na região $ a < r < b $. Nessa superfície, o campo elétrico $ \vec{E} $ tem a mesma magnitude em todos os pontos e é perpendicular à superfície, então a integral se simplifica para:
Passo 5
Agora, precisamos calcular $ Q_{enc} $, que é a soma da carga pontual $ q $ no centro mais a carga distribuída na camada esférica de raio de $ a $ até $ r $. A carga distribuída é a integral da densidade volumétrica:
Portanto,
Passo 6
Substituindo $ Q_{enc} $ na Lei de Gauss:
Queremos que o campo elétrico $ E $ seja constante nessa região, ou seja, não dependa de $ r $. Para isso, a única maneira é que o termo que multiplica $ r^2 $ seja zero:
Mas isso levaria $ A = 0 $, o que não faz sentido. Portanto, devemos reconsiderar nosso cálculo.
Passo 7
Na verdade, a carga distribuída na camada esférica não depende de $ r $ para garantir que o campo seja constante. Isso significa que a variação com $ r $ deve anular o efeito da carga pontual. Portanto, para que o campo seja constante, a derivada em relação a $ r $ do campo elétrico deve ser zero.
Analisando a expressão anterior:
Para $ E $ ser constante, o numerador deve ser proporcional a $ r^2 $:
Igualando os coeficientes, obtemos:
E:
Passo 8
Agora que temos $ A = \frac{q}{2\pi a^2} $, podemos substituir de volta na expressão do campo elétrico:
Resposta
a) $ A = \frac{q}{2 \pi a^{2}} $
b) $ E = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} a^{2}} $