A carga elétrica
de uma casca cilíndrica de raios interno
e externo
está distribuída de acordo com a densidade volumétrica
, onde
é uma constante e
é a distância de um ponto qualquer do cilindro ao seu eixo central. Mostre que a carga
contida numa camada entre os raios
e
é expressa por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um cilindro com cargas distribuídas de forma que a densidade de carga volumétrica é dada por
, onde
é uma constante e
é a distância do ponto ao eixo central do cilindro. O cilindro tem raio interno
e externo
. Queremos descobrir qual a carga
que está entre os raios
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de cargas em distribuições contínuas, especificamente integrando a densidade de carga sobre o volume desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a carga total
está distribuída entre os raios
e
. Para achar a carga em uma camada específica, precisamos integrar a densidade de carga
sobre o volume dessa camada. Usaremos coordenadas cilíndricas, já que a simetria do problema é cilíndrica.
Passo 3
A densidade de carga é
. Em coordenadas cilíndricas, um elemento de volume é dado por
, onde
é o comprimento do cilindro. Assim, a carga em uma camada com raio entre
e
é:
Passo 4
Para encontrar a carga total
entre
e
, integramos
de
até
:
A integral de
é
, então:
Passo 5
Agora, queremos a carga
entre
e
. Fazemos a mesma integração, mas agora de
até
:
Passo 6
Agora, temos
e
. Para relacionar
com
, basta dividir as duas equações:
Portanto,
Resposta
A carga
na camada entre os raios
e
é
.