A carga elétrica Q de uma casca cilíndrica de raios interno a e externo 3 a está distribuída de acordo com a densidade volumétrica rho=alpha / r^2, onde alpha é uma constante e r é a distância de um ponto qualquer do cilindro ao seu eixo central. Mostre que a carga q contida numa camada entre os raios a e 2 a é expressa por q=Q ln 2ln 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um cilindro com cargas distribuídas de forma que a densidade de carga volumétrica é dada por rho = alphar^2, onde alpha é uma constante e r é a distância do ponto ao eixo central do cilindro. O cilindro tem raio interno a e externo 3a. Queremos descobrir qual a carga q que está entre os raios a e 2a. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de cargas em distribuições contínuas, especificamente integrando a densidade de carga sobre o volume desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a carga total Q está distribuída entre os raios a e 3a. Para achar a carga em uma camada específica, precisamos integrar a densidade de carga rho sobre o volume dessa camada. Usaremos coordenadas cilíndricas, já que a simetria do problema é cilíndrica.

Passo 3

A densidade de carga é rho = alphar^2. Em coordenadas cilíndricas, um elemento de volume é dado por dV = 2pi r L dr, onde L é o comprimento do cilindro. Assim, a carga em uma camada com raio entre r e r + dr é:
dq = rho , dV = alphar^2 cdot 2pi r L dr = 2pi alpha Lr dr

Passo 4

Para encontrar a carga total Q entre a e 3a, integramos dq de r = a até r = 3a:
Q = integrala^3a 2pi alpha Lr dr = 2pi alpha L integrala^3a 1r dr
A integral de 1r é ln r, então:
Q = 2pi alpha L (ln 3a - ln a) = 2pi alpha L ln 3

Passo 5

Agora, queremos a carga q entre a e 2a. Fazemos a mesma integração, mas agora de r = a até r = 2a:
q = integrala^2a 2pi alpha Lr dr = 2pi alpha L integrala^2a 1r dr = 2pi alpha L (ln 2a - ln a) = 2pi alpha L ln 2

Passo 6

Agora, temos Q = 2pi alpha L ln 3 e q = 2pi alpha L ln 2. Para relacionar q com Q, basta dividir as duas equações:
qQ = 2pi alpha L ln 22pi alpha L ln 3 = ln 2ln 3
Portanto,
q = Q cdot ln 2ln 3

Resposta

A carga q na camada entre os raios a e 2a é q = Q cdot ln 2ln 3.

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