A camada fina de chuva a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\mu=10-^{3} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}\right) escoa por um estacionamento a uma profundidade constante de 4 mm . A área tem a largura 40 m com inclinação de 8 cm por 60 m de comprimento. Determine a vazão, o cisalhamento na superfície e o número de Reynold.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: a) a vazão volumétrica que escoa pelo estacionamento; b) o cisalhamento na superfície; c) o número de Reynolds do escoamento.
Dados fornecidos (escrevo tudo em unidades do SI):
A inclinação (pendente) é \sin\theta\approx S=\dfrac{\Delta z}{L}=\dfrac{0{,}08}{60}=0{,}001333\ldots.
O enunciado não forneceu a densidade; vou usar a densidade da água à 20^\circ\mathrm{C}:
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
Observação sobre o pedido “cisalhamento na superfície”: um escoamento de filme livre tem tensão de cisalhamento nula na superfície livre; a tensão de cisalhamento no leito (superfície do estacionamento) é diferente e normalmente é a quantidade de interesse prática. Durante a resolução eu apresento as duas, explicando qual é qual.
Passo 2
Modelagem física e equações fundamentais (passo-a-passo, sem pressa). Considere o filme de espessura constante h sobre um plano inclinado. Escolhemos o eixo vertical z com z=0 na superfície do estacionamento (leito) e z=h na superfície livre. Para escoamento steady, unidimensional (no sentido x ao longo da rampa) e totalmente desenvolvido, o balanço de momento em x (força viscosa equilibrando a componente da gravidade) dá:
\mu \frac{d^{2}u}{dz^{2}} = \rho g \sin\theta,
onde u(z) é a velocidade na direção x, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} e \sin\theta\approx S é a inclinação. Explico: a derivada segunda aparece porque a força viscosa por unidade de volume é \mu d^2u/dz^2 e a força de volume da gravidade ao longo da rampa é \rho g\sin\theta. As condições de contorno são:
u(0)=0\quad(\text{adesão no leito}),
\left.\frac{du}{dz}\right|_{z=h}=0\quad(\text{tensão de cisalhamento nula na superfície livre}).
Passo 3
Integração da equação de velocidade e obtenção do perfil. Integramos duas vezes:
\mu \frac{d^{2}u}{dz^{2}} = \rho g\sin\theta
\Rightarrow \mu \frac{du}{dz} = \rho g\sin\theta\; z + C_{1}
Aplico a condição em z=h: \left.\dfrac{du}{dz}\right|_{z=h}=0, então
0 = \rho g\sin\theta\; h + C_{1} \quad\Rightarrow\quad C_{1} = -\rho g\sin\theta\; h.
Integro novamente:
\mu u(z) = \frac{\rho g\sin\theta}{2}\; z^{2} - \rho g\sin\theta\; h z + C_{2}.
Usando u(0)=0 obtemos C_{2}=0. Assim o perfil de velocidade é
Esse valor (da ordem de algumas centenas) indica escoamento laminar no filme (os filmes viscosos tornam-se turbulentos em números de Reynolds muito maiores, tipicamente acima de algumas centenas a mil, dependendo da definição usada; aqui estamos claramente em regime laminar).
Passo 8
Resumo rápido e positivo: fizemos o derivativo da equação de momento, integramos com as condições de contorno, calculamos o fluxo por unidade de largura, a vazão total, a distribuição de tensão de cisalhamento e o número de Reynolds. Boa notícia: com poucos passos e fórmulas básicas deu para resolver; respira que tá tranquilo — os números são pequenos porque a lâmina é muito rasa.