A camada fina de chuva a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\mu=10-^{3} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}\right) escoa por um estacionamento a uma profundidade constante de 4 mm . A área tem a largura 40 m com inclinação de 8 cm por 60 m de comprimento. Determine a vazão, o cisalhamento na superfície e o número de Reynold.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: a) a vazão volumétrica que escoa pelo estacionamento; b) o cisalhamento na superfície; c) o número de Reynolds do escoamento.
Dados fornecidos (escrevo tudo em unidades do SI):
\mu = 10^{-3}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}},\qquad h=4\\ \mathrm{mm}=0{,}004\\ \mathrm{m},
\text{largura } W=40\\ \mathrm{m},\qquad \text{queda vertical } \Delta z=8\\ \mathrm{cm}=0{,}08\\ \mathrm{m},
\text{comprimento } L=60\\ \mathrm{m}.
A inclinação (pendente) é \sin\theta\approx S=\dfrac{\Delta z}{L}=\dfrac{0{,}08}{60}=0{,}001333\ldots.
O enunciado não forneceu a densidade; vou usar a densidade da água à 20^\circ\mathrm{C}:
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
Observação sobre o pedido “cisalhamento na superfície”: um escoamento de filme livre tem tensão de cisalhamento nula na superfície livre; a tensão de cisalhamento no leito (superfície do estacionamento) é diferente e normalmente é a quantidade de interesse prática. Durante a resolução eu apresento as duas, explicando qual é qual.

Passo 2

Modelagem física e equações fundamentais (passo-a-passo, sem pressa). Considere o filme de espessura constante h sobre um plano inclinado. Escolhemos o eixo vertical z com z=0 na superfície do estacionamento (leito) e z=h na superfície livre. Para escoamento steady, unidimensional (no sentido x ao longo da rampa) e totalmente desenvolvido, o balanço de momento em x (força viscosa equilibrando a componente da gravidade) dá:
\mu \frac{d^{2}u}{dz^{2}} = \rho g \sin\theta,
onde u(z) é a velocidade na direção x, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} e \sin\theta\approx S é a inclinação. Explico: a derivada segunda aparece porque a força viscosa por unidade de volume é \mu d^2u/dz^2 e a força de volume da gravidade ao longo da rampa é \rho g\sin\theta. As condições de contorno são:
u(0)=0\quad(\text{adesão no leito}),ã
\left.\frac{du}{dz}\right|_{z=h}=0\quad(\text{tensão de cisalhamento nula na superfície livre}).ãí

Passo 3

Integração da equação de velocidade e obtenção do perfil. Integramos duas vezes:
\mu \frac{d^{2}u}{dz^{2}} = \rho g\sin\theta
\Rightarrow \mu \frac{du}{dz} = \rho g\sin\theta\; z + C_{1}
Aplico a condição em z=h: \left.\dfrac{du}{dz}\right|_{z=h}=0, então
0 = \rho g\sin\theta\; h + C_{1} \quad\Rightarrow\quad C_{1} = -\rho g\sin\theta\; h.
Integro novamente:
\mu u(z) = \frac{\rho g\sin\theta}{2}\; z^{2} - \rho g\sin\theta\; h z + C_{2}.
Usando u(0)=0 obtemos C_{2}=0. Assim o perfil de velocidade é
u(z)=\frac{\rho g\sin\theta}{\mu}\left(\frac{z^{2}}{2}-hz\right).
Nota simpática: esse perfil é parabólico, abre para baixo, e tem máximo na superfície livre.

Passo 4

Velocidade média, fluxo por unidade de largura e vazão total. A velocidade média sobre a profundidade é
U_{\text{m}}=\frac{1}{h}\int_{0}^{h}u(z)\,dz.
Calculo a integral:
\int_{0}^{h}\left(\frac{z^{2}}{2}-hz\right)dz=\left[\frac{z^{3}}{6}-\frac{hz^{2}}{2}\right]_{0}^{h}=\frac{h^{3}}{6}-\frac{h^{3}}{2}=-\frac{h^{3}}{3}.
Portanto
U_{\text{m}}=\frac{\rho g\sin\theta}{\mu}\left(-\frac{h^{3}}{3h}\right)=\frac{\rho g\sin\theta\, h^{2}}{3\mu}.
O fluxo por unidade de largura (vazão específica) é q=U_{\text{m}}h, assim
q=\frac{\rho g\sin\theta\, h^{3}}{3\mu}.
A vazão total pela largura W é
Q=qW=\frac{\rho g\sin\theta\, h^{3}}{3\mu}\;W.

Passo 5

Substituição numérica para a vazão. Primeiro calculemos \rho g\sin\theta:
\rho g\sin\theta = 1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}001333\ldots \approx 13{,}08\\ \mathrm{N/m^{3}}.
Agora h^{3}=(0{,}004)^{3}=6{,}4\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{3}}. Então
q=\frac{13{,}08\cdot 6{,}4\times10^{-8}}{3\cdot 10^{-3}} = \frac{8{,}3712\times10^{-7}}{3{,}0\times10^{-3}} \approx 2{,}79\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Vazão total:
Q=qW=2{,}7904\times10^{-4}\cdot 40 \approx 1{,}11616\times10^{-2}\\ \mathrm{m^{3}/s}\approx 0{,}0112\\ \mathrm{m^{3}/s}.
(Em litros por segundo isso é cerca de 11{,}2\\ \mathrm{L/s}.)

Passo 6

Cisalhamento (tensão de cisalhamento) ao longo da profundidade. A tensão viscosa é \tau(z)=\mu\,du/dz. Usando a expressão obtida para du/dz:
\mu\frac{du}{dz}=\rho g\sin\theta\;(z-h).
Rearranjando,
\tau(z)=\rho g\sin\theta\;(h-z).
Logo:
  • na superfície livre ( z=h) temos \tau(h)=0 (tensão nula, condição de contorno física);
  • no leito ( z=0), tensão de fundo (cisalhamento sobre a superfície do estacionamento):
\tau_{b}=\tau(0)=\rho g\sin\theta\;h.
Substituindo numericamente:
\tau_{b}=13{,}08\cdot 0{,}004 \approx 0{,}0523\\ \mathrm{Pa}.

Passo 7

Número de Reynolds. Para filmes a definição prática é
\mathrm{Re}=\frac{\rho U_{\text{m}} h}{\mu}=\frac{\rho q}{\mu}.
Usando q=2{,}7904\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s},
\mathrm{Re}=\frac{1000\cdot 2{,}7904\times10^{-4}}{10^{-3}}=279{,}04\approx 2{,}79\times10^{2}.
Esse valor (da ordem de algumas centenas) indica escoamento laminar no filme (os filmes viscosos tornam-se turbulentos em números de Reynolds muito maiores, tipicamente acima de algumas centenas a mil, dependendo da definição usada; aqui estamos claramente em regime laminar).

Passo 8

Resumo rápido e positivo: fizemos o derivativo da equação de momento, integramos com as condições de contorno, calculamos o fluxo por unidade de largura, a vazão total, a distribuição de tensão de cisalhamento e o número de Reynolds. Boa notícia: com poucos passos e fórmulas básicas deu para resolver; respira que tá tranquilo — os números são pequenos porque a lâmina é muito rasa.

Resposta

Q=0{,}0112\\ \mathrm{m^{3}/s}
\tau_{\text{superfície livre}}=0\\ \mathrm{Pa};\\ \tau_{\text{leito (superfície do estacionamento)}}=0{,}0523\\ \mathrm{Pa}íí
\mathrm{Re}=2{,}79\times10^{2}

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