A viscosidade será determinada girando um cilindro de 6 cm de diâmetro e 30 cm de comprimento dentro de um cilindro de 6,2 \mathrm{~cm} de diâmetro. O torque medido é de 0,22 N.m e a velocidade rotacional de 3000 rpm. Determine a viscosidade.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a viscosidade dinâmica do fluido (denotada por \mu) a partir das medidas de torque e rotação em um sistema de cilindros concêntricos.
Informações dadas:
\begin{aligned} \text{diâmetro do cilindro interno} &= 6\\ \mathrm{cm},\\\ \text{diâmetro do cilindro externo} &= 6{,}2\\ \mathrm{cm},\\\ \text{comprimento útil dos cilindros} &= 30\\ \mathrm{cm},\\\ \text{torque medido} &= 0{,}22\\ \mathrm{N\cdot m},\\\ \text{velocidade de rotação} &= 3000\\ \mathrm{rpm}. \end{aligned}
Dados que calcularemos a partir desses:
\begin{aligned} a &= \text{raio do cilindro interno} = \tfrac{6}{2}\\ \mathrm{cm} = 0{,}03\\ \mathrm{m},\\\ b &= \text{raio do cilindro externo} = \tfrac{6{,}2}{2}\\ \mathrm{cm} = 0{,}031\\ \mathrm{m},\\\ L &= 0{,}30\\ \mathrm{m},\\\ T &= 0{,}22\\ \mathrm{N\cdot m},\\\ \Omega &= \text{velocidade angular} = 3000\\ \mathrm{rpm}\\ (\text{converteremos para rad/s}). \end{aligned}
Passo 2
Modelo físico e equação geral da velocidade azimutal: para escoamento estacionário, axisimétrico e sem variação axial entre dois cilindros concêntricos (cilindro interno girando, externo fixo), a componente azimutal da velocidade v_{\theta}(r) tem a forma
v_{\theta}(r)=A\,r+\frac{B}{r},
onde A e B são constantes determinadas pelas condições de contorno. Explicação curta do porquê: essa forma é a solução da equação de equilíbrio do termo viscoso na direção azimutal quando não há efeitos de pressão ou dependência axial — é a solução clássica de Couette cilíndrico.
Significado das variáveis:
\begin{aligned} r &\\ =\\ \text{raio radial},\\\ v_{\theta}(r) &\\ =\\ \text{velocidade tangencial no raio }r,\\\ \Omega &\\ =\\ \text{velocidade angular do cilindro interno (rad/s)},\\\ a,b &\\ =\\ \text{raios interno e externo}. \end{aligned}
Passo 3
Condições de contorno e solução para A e B. As condições de não deslizamento são:
v_{\theta}(a)=a\Omega,\qquad v_{\theta}(b)=0.
Aplicando ao modelo v_{\theta}(r)=A r + B/r obtemos o sistema
\begin{cases} A a + \dfrac{B}{a} = a\Omega,\\[6pt] A b + \dfrac{B}{b} = 0. \end{cases}
Subtraindo as equações (ou resolvendo o sistema), obtemos
B = \dfrac{\Omega\,a^{2}b^{2}}{\,b^{2}-a^{2}\,}.]
Passo 4
Expressão do torque em função de \mu. O esforço de cisalhamento (tensão de cisalhamento) em coordenadas cilíndricas, componente relevante, é
Para interpretar em unidades mais usuais, 1\\ \mathrm{Pa\cdot s}=1000\\ \mathrm{mPa\cdot s}, portanto
\mu \approx 13{,}1\\ \mathrm{mPa\cdot s}.
Boa notícia: acertamos o procedimento — fica mais simples na prova seguir os passos: escrever a forma v_{\theta}=Ar+B/r, aplicar as condições de contorno, obter B, relacionar tensão de cisalhamento e torque e inserir os números com atenção às unidades. Você consegue fazer isso na prova; respira fundo e repete o processo com calma.