A viscosidade será determinada girando um cilindro de 6 cm de diâmetro e 30 cm de comprimento dentro de um cilindro de 6,2 \mathrm{~cm} de diâmetro. O torque medido é de 0,22 N.m e a velocidade rotacional de 3000 rpm. Determine a viscosidade.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a viscosidade dinâmica do fluido (denotada por \mu) a partir das medidas de torque e rotação em um sistema de cilindros concêntricos.
Informações dadas:
\begin{aligned} \text{diâmetro do cilindro interno} &= 6\\ \mathrm{cm},\\\ \text{diâmetro do cilindro externo} &= 6{,}2\\ \mathrm{cm},\\\ \text{comprimento útil dos cilindros} &= 30\\ \mathrm{cm},\\\ \text{torque medido} &= 0{,}22\\ \mathrm{N\cdot m},\\\ \text{velocidade de rotação} &= 3000\\ \mathrm{rpm}. \end{aligned}ââúçã
Dados que calcularemos a partir desses:
\begin{aligned} a &= \text{raio do cilindro interno} = \tfrac{6}{2}\\ \mathrm{cm} = 0{,}03\\ \mathrm{m},\\\ b &= \text{raio do cilindro externo} = \tfrac{6{,}2}{2}\\ \mathrm{cm} = 0{,}031\\ \mathrm{m},\\\ L &= 0{,}30\\ \mathrm{m},\\\ T &= 0{,}22\\ \mathrm{N\cdot m},\\\ \Omega &= \text{velocidade angular} = 3000\\ \mathrm{rpm}\\ (\text{converteremos para rad/s}). \end{aligned}

Passo 2

Modelo físico e equação geral da velocidade azimutal: para escoamento estacionário, axisimétrico e sem variação axial entre dois cilindros concêntricos (cilindro interno girando, externo fixo), a componente azimutal da velocidade v_{\theta}(r) tem a forma
v_{\theta}(r)=A\,r+\frac{B}{r},
onde A e B são constantes determinadas pelas condições de contorno. Explicação curta do porquê: essa forma é a solução da equação de equilíbrio do termo viscoso na direção azimutal quando não há efeitos de pressão ou dependência axial — é a solução clássica de Couette cilíndrico.
Significado das variáveis:
\begin{aligned} r &\\ =\\ \text{raio radial},\\\ v_{\theta}(r) &\\ =\\ \text{velocidade tangencial no raio }r,\\\ \Omega &\\ =\\ \text{velocidade angular do cilindro interno (rad/s)},\\\ a,b &\\ =\\ \text{raios interno e externo}. \end{aligned}

Passo 3

Condições de contorno e solução para A e B. As condições de não deslizamento são:
v_{\theta}(a)=a\Omega,\qquad v_{\theta}(b)=0.
Aplicando ao modelo v_{\theta}(r)=A r + B/r obtemos o sistema
\begin{cases} A a + \dfrac{B}{a} = a\Omega,\\[6pt] A b + \dfrac{B}{b} = 0. \end{cases}
Subtraindo as equações (ou resolvendo o sistema), obtemos
B = \dfrac{\Omega\,a^{2}b^{2}}{\,b^{2}-a^{2}\,}.]

Passo 4

Expressão do torque em função de \mu. O esforço de cisalhamento (tensão de cisalhamento) em coordenadas cilíndricas, componente relevante, é
\tau_{r\theta}(r)=\mu\,r\,\frac{d}{dr}\!\left(\frac{v_{\theta}}{r}\right).
Para v_{\theta}=Ar+B/r temos \dfrac{v_{\theta}}{r}=A+\dfrac{B}{r^{2}} e portanto
\frac{d}{dr}\!\left(\frac{v_{\theta}}{r}\right)=-\frac{2B}{r^{3}},
logo
\tau_{r\theta}(r)=-\frac{2\mu B}{r^{2}}.
O torque absoluto (módulo) sobre o cilindro interno é a tensão multiplicada pela área lateral vezes o braço a:
T = 2\pi a^{2}L\;|\tau_{r\theta}(a)| = 2\pi a^{2}L\cdot\frac{2\mu B}{a^{2}} = 4\pi \mu L B.
Substituindo B achado no passo anterior,
T = 4\pi \mu L \cdot \frac{\Omega\,a^{2}b^{2}}{\,b^{2}-a^{2}\,}.
Isolando \mu obtemos a fórmula que usaremos:
\boxed{\displaystyle \mu = \frac{T\,(b^{2}-a^{2})}{4\pi L \,\Omega\,a^{2}b^{2}}.}

Passo 5

Converter dados numéricos e calcular \Omega. Primeiro a conversão de rotação:
\Omega = 3000\\ \mathrm{rpm} = 3000\cdot\frac{2\pi}{60}\\ \mathrm{rad/s} = 100\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Valores numéricos (em unidades SI):
\begin{aligned} a &= 0{,}03\\ \mathrm{m},\\[4pt] b &= 0{,}031\\ \mathrm{m},\\[4pt] L &= 0{,}30\\ \mathrm{m},\\[4pt] T &= 0{,}22\\ \mathrm{N\cdot m},\\[4pt] \Omega &= 100\pi\\ \mathrm{rad/s}. \end{aligned}]

Passo 6

Calcular os termos intermediários com cuidado:
\begin{aligned} b^{2}-a^{2} &= (0{,}031)^{2}-(0{,}03)^{2} = 0{,}000961-0{,}000900 = 0{,}000061,\\[6pt] a^{2}b^{2} &= (0{,}03)^{2}(0{,}031)^{2} = 0{,}0009\times 0{,}000961 = 0{,}0000008649 = 8{,}649\times 10^{-7}. \end{aligned}
Agora o numerador e denominador da expressão para \mu:
\begin{aligned} \text{numerador} &= T\,(b^{2}-a^{2}) = 0{,}22\times 0{,}000061 = 0{,}00001342,\\[6pt] \text{denominador} &= 4\pi L\,\Omega\,a^{2}b^{2} = 4\pi\times 0{,}30\times(100\pi)\times 8{,}649\times 10^{-7}. \end{aligned}
Calculemos o denominador numérico:
4\pi\times 100\pi = 400\pi^{2}\approx 400\times 9{,}8696 = 3947{,}84176,
3947{,}84176\times 0{,}30 = 1184{,}352528,
1184{,}352528\times 8{,}649\times 10^{-7}\approx 0{,}0010245.]

Passo 7

Cálculo final de \mu:
\mu = \frac{0{,}00001342}{0{,}0010245}\approx 0{,}013103\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Para interpretar em unidades mais usuais, 1\\ \mathrm{Pa\cdot s}=1000\\ \mathrm{mPa\cdot s}, portanto
\mu \approx 13{,}1\\ \mathrm{mPa\cdot s}.
Boa notícia: acertamos o procedimento — fica mais simples na prova seguir os passos: escrever a forma v_{\theta}=Ar+B/r, aplicar as condições de contorno, obter B, relacionar tensão de cisalhamento e torque e inserir os números com atenção às unidades. Você consegue fazer isso na prova; respira fundo e repete o processo com calma.

Resposta

\mu = 0{,}0131\\ \mathrm{Pa\cdot s}

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