A queda de pressão de tubo horizontal de 30 m de comprimento e 1 cm de diâmetro transportando água a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\mu=10-^{3} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}\right) medida em 2 KPa . Pressupõe -se o escoamento laminar. Determine: a velocidade máxima do tubo, o número de Reynolds, a tensão de cisalhamento e o fator de atrito.
R. Umax =0,4167 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; \operatorname{Re}=2083 ; \tau 0=0,1667 \mathrm{~Pa} ; \mathrm{f}=0,0307.
Passo 1
O enunciado dá um tubo horizontal com comprimento e diâmetro, transportando água a 20^\circ\mathrm{C}, e informa a queda de pressão medida. As perguntas são claramente: determinar (1) a velocidade máxima no tubo, (2) o número de Reynolds, (3) a tensão de cisalhamento na parede e (4) o fator de atrito, assumindo escoamento laminar. Dados fornecidos (vou listar explicitamente):
Vou também usar a densidade da água a 20^\circ\mathrm{C} como
\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}},
que é o valor padrão usado nesses exercícios quando não é dado explicitamente.
Passo 2
Entendendo a fórmula que vamos usar (aula rápida e direta): para escoamento laminar e totalmente desenvolvido em um tubo circular (perfil parabólico — fluxo de Poiseuille) vale a relação entre o gradiente de pressão e a velocidade máxima. Começamos da relação para a velocidade média U_{m} obtida de Poiseuille:
onde R é o raio do tubo e \Delta p/L é a perda de pressão por unidade de comprimento. A velocidade máxima no centro do tubo relaciona-se com a média por
U_{\max}=2U_{m}.
Podemos juntar as duas expressões para obter diretamente
Arredondando: \mathrm{Re}=2083. Note que esse valor confirma a hipótese de escoamento laminar (menor que \sim 2300).
Passo 5
A tensão de cisalhamento na parede \tau_{w} (também chamada \tau_{0} no enunciado) pode ser obtida de duas maneiras equivalentes. Vou mostrar a forma pela derivada do perfil e o resultado físico direto.
Usando o perfil de velocidade parabólico \displaystyle u(r)=U_{\max}\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right), a taxa de deformação radial é