A queda de pressão de tubo horizontal de 30 m de comprimento e 1 cm de diâmetro transportando água a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\mu=10-^{3} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}\right) medida em 2 KPa . Pressupõe -se o escoamento laminar. Determine: a velocidade máxima do tubo, o número de Reynolds, a tensão de cisalhamento e o fator de atrito.
R. Umax =0,4167 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; \operatorname{Re}=2083 ; \tau 0=0,1667 \mathrm{~Pa} ; \mathrm{f}=0,0307.

Passo 1

O enunciado dá um tubo horizontal com comprimento e diâmetro, transportando água a 20^\circ\mathrm{C}, e informa a queda de pressão medida. As perguntas são claramente: determinar (1) a velocidade máxima no tubo, (2) o número de Reynolds, (3) a tensão de cisalhamento na parede e (4) o fator de atrito, assumindo escoamento laminar. Dados fornecidos (vou listar explicitamente):
L=30\\ \mathrm{m},\qquad D=1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m},\qquad \Delta p=2\\ \mathrm{kPa}=2000\\ \mathrm{Pa},
\mu=10^{-3}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}.
Vou também usar a densidade da água a 20^\circ\mathrm{C} como
\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}},
que é o valor padrão usado nesses exercícios quando não é dado explicitamente.

Passo 2

Entendendo a fórmula que vamos usar (aula rápida e direta): para escoamento laminar e totalmente desenvolvido em um tubo circular (perfil parabólico — fluxo de Poiseuille) vale a relação entre o gradiente de pressão e a velocidade máxima. Começamos da relação para a velocidade média U_{m} obtida de Poiseuille:
U_{m}=\frac{R^{2}}{8\mu}\left(\frac{\Delta p}{L}\right),
onde R é o raio do tubo e \Delta p/L é a perda de pressão por unidade de comprimento. A velocidade máxima no centro do tubo relaciona-se com a média por
U_{\max}=2U_{m}.
Podemos juntar as duas expressões para obter diretamente
U_{\max}=\frac{R^{2}}{4\mu}\left(\frac{\Delta p}{L}\right).

Passo 3

Agora calculamos U_{\max} passo a passo. Primeiro o raio:
R=\frac{D}{2}=\frac{0,01}{2}=0,005\\ \mathrm{m}.
O gradiente de pressão (valor positivo para a magnitude) é
\frac{\Delta p}{L}=\frac{2000}{30}=66{,}666\ldots\\ \mathrm{Pa/m}.
Calcule o coeficiente R^{2}/(4\mu):
\frac{R^{2}}{4\mu}=\frac{(0,005)^{2}}{4\cdot 10^{-3}}=\frac{25\cdot 10^{-6}}{4\cdot 10^{-3}}=0{,}00625\\ \mathrm{(s/m)}.
Multiplicando:
U_{\max}=0{,}00625\times 66{,}666\ldots =0{,}416666\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente para quatro casas decimais temos U_{\max}=0{,}4167\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Para o número de Reynolds usamos a definição baseada na velocidade média U_{m} (padrão em escoamentos internos):
\mathrm{Re}=\frac{\rho U_{m} D}{\mu}.
Como U_{m}=U_{\max}/2, primeiro obtenha U_{m}:
U_{m}=\frac{U_{\max}}{2}= \frac{0{,}416666\ldots}{2}=0{,}208333\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Agora calcule \mathrm{Re}:
\mathrm{Re}=\frac{1000\times 0{,}208333\ldots \times 0{,}01}{10^{-3}}=2083{,}33\ldots
Arredondando: \mathrm{Re}=2083. Note que esse valor confirma a hipótese de escoamento laminar (menor que \sim 2300).

Passo 5

A tensão de cisalhamento na parede \tau_{w} (também chamada \tau_{0} no enunciado) pode ser obtida de duas maneiras equivalentes. Vou mostrar a forma pela derivada do perfil e o resultado físico direto.
  1. Usando o perfil de velocidade parabólico \displaystyle u(r)=U_{\max}\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right), a taxa de deformação radial é
\left.\frac{du}{dr}\right|_{r=R}=-\frac{2U_{\max}}{R}.
Como a tensão de cisalhamento é \tau_{w}=\mu\left.\dfrac{du}{dr}\right|_{r=R} (em magnitude),
\tau_{w}=\mu\frac{2U_{\max}}{R}.
  1. Alternativamente, da relação entre gradiente de pressão e cisalhamento para Poiseuille tem-se a expressão direta
\tau_{w}=\frac{R}{2}\left(\frac{\Delta p}{L}\right).
Usando essa última (mais direta): R/2=0{,}005/2=0{,}0025\\ \mathrm{m}. Então
\tau_{w}=0{,}0025\times 66{,}666\ldots =0{,}166666\ldots\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando: \tau_{w}=0{,}1667\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

O fator de atrito de Darcy para escoamento laminar em tubo é dado pela lei simples
f=\frac{64}{\mathrm{Re}}.
Usando \mathrm{Re}=2083{,}33\ldots,
f=\frac{64}{2083{,}33\ldots}=0{,}03072\ldots
Arredondando: f=0{,}0307.

Resposta

U_{\max}=0,4167\\ \mathrm{m/s}
\mathrm{Re}=2083
\tau_{0}=0,1667\\ \mathrm{Pa}
f=0,0307

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