Um tubo horizontal de 4 mm de diâmetro e 40 m de comprimento é afixado a um reservatório de água a
. A Superfície da água no reservatório está a 4m acima da saída do tubo. Pressuponha um escoamento laminar e calcule a velocidade média no tubo e o comprimento da região de entrada.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema dá e o que pede):
- Tubo horizontal de diâmetro
. - Comprimento do tubo
. - Superfície livre do reservatório a
acima da saída do tubo. - Água a
com viscosidade dinâmica . - Assuma escoamento laminar.
- Suponho a densidade da água
e (valores padrão à temperatura dada).
O que é pedido:
- A velocidade média no tubo
. - O comprimento da região de entrada (comprimento necessário para o perfil de velocidade se desenvolver),
.
Passo 2
Pressão impulsionadora (cabeça hidráulica): a diferença de pressão entre a superfície livre do reservatório e a saída é dada pela pressão hidrostática
Explicação: a superfície está à altura
acima da saída; ao longo do tubo a perda de pressão disponível para vencer a viscosidade é exatamente essa pressão hidrostática (assumimos perda de carga igual à pressão disponível, sem outras perdas externas).
Calculemos numericamente:
Passo 3
Lei de Hagen–Poiseuille (escoamento laminar totalmente desenvolvido em tubo circular): o débito volumétrico é
onde
é o raio do tubo,
a viscosidade dinâmica,
o comprimento sobre o qual ocorre a perda
.
Explicação didática: essa fórmula vem da solução da equação de Navier–Stokes para escoamento estacionário, incompressível e laminar num tubo circular com velocidade só função do raio. Ela relaciona a força que empurra o fluido (
) com o fluxo resultante, mostrando forte dependência com
(pequenas mudanças de raio alteram muito o fluxo).
Velocidade média
relaciona-se com
por
Explicação:
dividido pela área da seção dá a velocidade média (é a definição de velocidade média do fluido na seção).
Passo 4
Calculemos a velocidade média substituindo valores. Primeiro o raio:
Calcule
:
Calcule o denominador
:
Agora a velocidade média:
Faço as contas em etapas:
Arredondando razoavelmente:
Passo 5
Verificação da hipótese laminar com o número de Reynolds. Definição:
Explicação:
é a razão entre forças inerciais e viscosas; para escoamento em tubo, se
o escoamento é tipicamente laminar.
Calcule:
Conclusão:
, logo a suposição de escoamento laminar estava correta e a fórmula de Hagen–Poiseuille é aplicável.
Passo 6
Comprimento da região de entrada (comprimento hidrodinâmico de desenvolvimento): para escoamento laminar em tubo há uma aproximação prática
Explicação: antes do escoamento tornar-se completamente desenvolvido (perfil parabólico clássico), existe uma região de entrada onde o perfil evolui; a estimativa acima é uma regra prática encontrada em livros de mecânica dos fluidos (valores variam entre
e
, aqui uso
por ser comum e simples).
Substituindo os valores:
Calcule passo a passo:
atenção: isso está em unidades sem dimensão multiplicando por
em metros; mais claramente:
Arredondando:
Passo 7
Interpretação final e checagem prática: o comprimento de entrada
é muito menor que o comprimento total
. Isso significa que, salvo na região inicial de cerca de
, o escoamento estará completamente desenvolvido na maior parte do tubo, então o uso da solução de Hagen–Poiseuille foi apropriado. Força um pouco de ânimo: você começou do zero e chegamos à resposta com poucos cálculos — tá indo bem!