Um tubo horizontal de 4 mm de diâmetro e 40 m de comprimento é afixado a um reservatório de água a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\mu=10-^{3} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}\right). A Superfície da água no reservatório está a 4m acima da saída do tubo. Pressuponha um escoamento laminar e calcule a velocidade média no tubo e o comprimento da região de entrada.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema dá e o que pede):
  • Tubo horizontal de diâmetro D=4\\ \mathrm{mm}=0,004\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do tubo L=40\\ \mathrm{m}.
  • Superfície livre do reservatório a h=4\\ \mathrm{m} acima da saída do tubo.
  • Água a 20^\circ\mathrm{C} com viscosidade dinâmica \mu=10^{-3}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}.
  • Assuma escoamento laminar.
  • Suponho a densidade da água \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}} (valores padrão à temperatura dada).
O que é pedido:
  • A velocidade média no tubo \bar{u}.
  • O comprimento da região de entrada (comprimento necessário para o perfil de velocidade se desenvolver), L_{e}.

Passo 2

Pressão impulsionadora (cabeça hidráulica): a diferença de pressão entre a superfície livre do reservatório e a saída é dada pela pressão hidrostática
\Delta p=\rho g h.
Explicação: a superfície está à altura h acima da saída; ao longo do tubo a perda de pressão disponível para vencer a viscosidade é exatamente essa pressão hidrostática (assumimos perda de carga igual à pressão disponível, sem outras perdas externas).
Calculemos numericamente:
\Delta p = 1000\cdot 9{,}81\cdot 4 = 39\,240\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Lei de Hagen–Poiseuille (escoamento laminar totalmente desenvolvido em tubo circular): o débito volumétrico é
Q=\frac{\pi R^{4}\,\Delta p}{8\mu L},
onde R é o raio do tubo, \mu a viscosidade dinâmica, L o comprimento sobre o qual ocorre a perda \Delta p.
Explicação didática: essa fórmula vem da solução da equação de Navier–Stokes para escoamento estacionário, incompressível e laminar num tubo circular com velocidade só função do raio. Ela relaciona a força que empurra o fluido ( \Delta p) com o fluxo resultante, mostrando forte dependência com R^{4} (pequenas mudanças de raio alteram muito o fluxo).
Velocidade média \bar{u} relaciona-se com Q por
\bar{u}=\frac{Q}{\pi R^{2}}=\frac{R^{2}\,\Delta p}{8\mu L}.
Explicação: Q dividido pela área da seção dá a velocidade média (é a definição de velocidade média do fluido na seção).

Passo 4

Calculemos a velocidade média substituindo valores. Primeiro o raio:
R=\frac{D}{2}=\frac{0{,}004}{2}=0{,}002\\ \mathrm{m}.
Calcule R^{2}:
R^{2}=(0{,}002)^{2}=4\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
Calcule o denominador 8\mu L:
8\mu L = 8\cdot 10^{-3}\cdot 40 = 0{,}32\\ \mathrm{(N\cdot s/m)}.
Agora a velocidade média:
\bar{u}=\frac{R^{2}\,\Delta p}{8\mu L} =\frac{4\cdot 10^{-6}\cdot 39\,240}{0{,}32}.
Faço as contas em etapas:
4\cdot 10^{-6}\cdot 39\,240 = 0{,}15696,
\bar{u}=\frac{0{,}15696}{0{,}32}=0{,}4905\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente:
\bar{u}\approx 0{,}491\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Verificação da hipótese laminar com o número de Reynolds. Definição:
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,\bar{u}\,D}{\mu}.
Explicação: \mathrm{Re} é a razão entre forças inerciais e viscosas; para escoamento em tubo, se \mathrm{Re}\lesssim 2300 o escoamento é tipicamente laminar.
Calcule:
\mathrm{Re}=\frac{1000\cdot 0{,}4905\cdot 0{,}004}{10^{-3}} =1000\cdot 0{,}4905\cdot 4 = 1\,962.
Conclusão: \mathrm{Re}\approx 1\,962<2300, logo a suposição de escoamento laminar estava correta e a fórmula de Hagen–Poiseuille é aplicável.

Passo 6

Comprimento da região de entrada (comprimento hidrodinâmico de desenvolvimento): para escoamento laminar em tubo há uma aproximação prática
L_{e}\approx 0{,}05\;\mathrm{Re}\;D.
Explicação: antes do escoamento tornar-se completamente desenvolvido (perfil parabólico clássico), existe uma região de entrada onde o perfil evolui; a estimativa acima é uma regra prática encontrada em livros de mecânica dos fluidos (valores variam entre 0{,}05 e 0{,}06, aqui uso 0{,}05 por ser comum e simples).
Substituindo os valores:
L_{e}=0{,}05\cdot 1{,}962\cdot 0{,}004.
Calcule passo a passo:
0{,}05\cdot 1{,}962 = 98{,}1,
atenção: isso está em unidades sem dimensão multiplicando por D em metros; mais claramente:
L_{e}=0{,}05\cdot 1{,}962\cdot 0{,}004 = 0{,}3924\\ \mathrm{m}.
Arredondando:
L_{e}\approx 0{,}392\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação final e checagem prática: o comprimento de entrada L_{e}\approx 0{,}392\\ \mathrm{m} é muito menor que o comprimento total L=40\\ \mathrm{m}. Isso significa que, salvo na região inicial de cerca de 0{,}4\\ \mathrm{m}, o escoamento estará completamente desenvolvido na maior parte do tubo, então o uso da solução de Hagen–Poiseuille foi apropriado. Força um pouco de ânimo: você começou do zero e chegamos à resposta com poucos cálculos — tá indo bem!

Resposta

\bar{u}\approx 0{,}491\\ \mathrm{m/s}
L_{e}\approx 0{,}392\\ \mathrm{m}

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