A camada limite de um escoamento turbulento próximo a uma parede pode ser “dividida” em três regiões: a subcamada viscosa (mais próxima à parede), a camada externa e uma camada intermediária, que “conecta” as duas camadas mais extremas.
Em 1.933 Kármán deduziu que a velocidade \bar{u} na camada externa é independente da viscosidade molecular, v, mas o seu desvio em relação à velocidade da corrente livre, U, deve
depender da espessura da camada limite, \delta, da tensão na parede, \tau_{w}, da massa específica do fluido, \rho, e da distância em relação à parede, y.
Use a análise dimensional para encontrar um parâmetro adimensional contendo a diferença de velocidades, U-\bar{u}, e outro contendo y, que sejam adequados para organizar dados experimentais. Mostre que o resultado pode ser escrito como:
\frac{\mathrm{U}-\overline{\mathrm{u}}}{\mathrm{u}_{*}}=\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{y}}{\delta}\right)
em que u_{*}=\left(\tau_{w} / \rho\right)^{I / 2} é a velocidade de atrito.

Passo 1

O enunciado pede para, via análise dimensional, encontrar dois parâmetros adimensionais a partir das variáveis \Delta u = U - \overline{u} (diferença de velocidades), \delta (espessura da camada limite), y (distância à parede), \tau_{w} (tensão de cisalhamento na parede) e \rho (massa específica).
Como a região externa é independente da viscosidade molecular v, não a consideramos. Vamos aplicar o método de Buckingham para agrupar essas variáveis em funções adimensionais.

Passo 2

Listamos as variáveis e suas dimensões fundamentais (M,L,T): \Delta u: [L\,T^{-1}] \delta: [L] y: [L] \tau_{w}: [M\,L^{-1}\,T^{-2}] \rho: [M\,L^{-3}]

Passo 3

Temos 5 variáveis e 3 dimensões fundamentais, logo haverá 5-3=2 parâmetros adimensionais \Pi_1 e \Pi_2. Um deles deve envolver apenas as grandezas de comprimento, naturalmente \Pi_1 = y/\delta. O outro envolverá \Delta u, \tau_w e \rho.

Passo 4

Escolhemos como variáveis repetidas \tau_{w}\), \(\rho\) e \(\delta\). Construímos \[\Pi_2 = \Delta u \;\rho^{\,a}\;\tau_w^{\,b}\;\delta^{\,c}
deve ser adimensional. Suas dimensões são
[L\,T^{-1}]\;[M\,L^{-3}]^{a}\;[M\,L^{-1}\,T^{-2}]^{b}\;[L]^{c} = M^{\,a+b}\;L^{\,1-3a-b+c}\;T^{-1-2b}\,.
Para anular todas as potências:
\begin{cases} a + b = 0,\\\\ 1 - 3a - b + c = 0,\\\\ -1 - 2b = 0. \end{cases}
Da terceira equação b = -\tfrac12\]. Então \(a = +\tfrac12 e, da segunda, c=0.

Passo 5

Substituindo a=\tfrac12, b=-\tfrac12, c=0 em \Pi_2, obtemos
\Pi_2 = \Delta u\;\rho^{1/2}\;\tau_w^{-1/2} = \frac{\Delta u}{\sqrt{\tau_w/\rho}} = \frac{U-\overline{u}}{u_*},
onde definimos \displaystyle u_* = \sqrt{\frac{\tau_w}{\rho}}, a chamada velocidade de atrito.

Resposta

\frac{U - \overline{u}}{u_*} = f\!\biggl(\frac{y}{\delta}\biggr).

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