A camada limite de um escoamento turbulento próximo a uma parede pode ser “dividida” em três regiões: a subcamada viscosa (mais próxima à parede), a camada externa e uma camada intermediária, que “conecta” as duas camadas mais extremas.
Em 1.933 Kármán deduziu que a velocidade \bar{u} na camada externa é independente da viscosidade molecular, v, mas o seu desvio em relação à velocidade da corrente livre, U, deve
depender da espessura da camada limite, \delta, da tensão na parede, \tau_{w}, da massa específica do fluido, \rho, e da distância em relação à parede, y.
Use a análise dimensional para encontrar um parâmetro adimensional contendo a diferença de velocidades, U-\bar{u}, e outro contendo y, que sejam adequados para organizar dados experimentais. Mostre que o resultado pode ser escrito como:
em que u_{*}=\left(\tau_{w} / \rho\right)^{I / 2} é a velocidade de atrito.
Passo 1
O enunciado pede para, via análise dimensional, encontrar dois parâmetros adimensionais a partir das variáveis \Delta u = U - \overline{u} (diferença de velocidades), \delta (espessura da camada limite), y (distância à parede), \tau_{w} (tensão de cisalhamento na parede) e \rho (massa específica).
Como a região externa é independente da viscosidade molecular v, não a consideramos. Vamos aplicar o método de Buckingham para agrupar essas variáveis em funções adimensionais.
Passo 2
Listamos as variáveis e suas dimensões fundamentais (M,L,T): \Delta u: [L\,T^{-1}] \delta: [L] y: [L] \tau_{w}: [M\,L^{-1}\,T^{-2}] \rho: [M\,L^{-3}]
Passo 3
Temos 5 variáveis e 3 dimensões fundamentais, logo haverá 5-3=2 parâmetros adimensionais \Pi_1 e \Pi_2. Um deles deve envolver apenas as grandezas de comprimento, naturalmente \Pi_1 = y/\delta. O outro envolverá \Delta u, \tau_w e \rho.
Passo 4
Escolhemos como variáveis repetidas \tau_{w}\), \(\rho\) e \(\delta\). Construímos
\[\Pi_2 = \Delta u \;\rho^{\,a}\;\tau_w^{\,b}\;\delta^{\,c}