3.42 Um fio de diâmetro D=2 \mathrm{~mm} e temperatura uniforme T tem uma resistência elétrica de 0,01 \Omega / \mathrm{m}. Passa nesse fio uma corrente elétrica de 20 A .
(a) Qual é a taxa na qual calor é dissipado por unidade de comprimento do fio? Qual é a dissipação térmica por unidade de volume no interior do fio?
(b) Se o fio não for isolado e estiver em um ambiente com ar e vizinhança a T_{\infty}=T_{v i z}=20^{\circ} \mathrm{C}, qual será a temperatura T do fio? O fio tem uma emissividade de 0,3 e o coeficiente associado à transferência de calor por convecção natural pode ser aproximado por uma expressão na forma h=C[(T - \left.\left.T_{\infty}\right) / D\right]^{1 / 4}, onde C=1,25 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{7 / 4} \cdot \mathrm{~K}^{5 / 4}\right).
(c) Se o fio estiver coberto com um isolante plástico de 2 mm de espessura e condutividade térmica igual a 0,25 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}), quais serão as temperaturas das superfícies interna e externa do isolante? O isolante tem uma emissividade de 0,9 e 0 coeficiente convectivo é fornecido pela expressão da parte (b). Explore o efeito da espessura do isolante nas temperaturas das superfícies.

Passo 1

O fio tem diâmetro D=2\text{ mm}=0,002\text{ m}, resistência por unidade de comprimento R'=0,01\\ \Omega/\text{m} e atravessa corrente I=20\text{ A}. A temperatura do ambiente é T_\infty=20\,^\circ\mathrm{C}. Vamos usar:
  1. Aquecimento resistivo por comprimento:
q' = I^2\,R'.
  1. Densidade volumétrica de dissipação:
q'''=\frac{q'}{A},\quad A=\frac{\pi D^2}{4}.
  1. Balanço de energia no regime permanente para cilindro:
q'=hP\,(T-T_\infty)+\varepsilon\sigma P\,(T^4-T_\infty^4),
com P=\pi D e
h=C\Bigl(\frac{T-T_\infty}{D}\Bigr)^{1/4}.
  1. Com isolação plástica de espessura t=2\text{ mm} e condutividade k=0,25\\ \mathrm{W/mK}, usamos a resistência térmica cilíndrica por metro:
R_{\rm cond}=\frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k},\quad r_1=\frac{D}{2},\\ r_2=r_1+t.

Passo 2

Calculemos q' e q''':
q'=I^2\,R'=(20)^2\cdot0{,}01=400\cdot0{,}01=4\\ \mathrm{W/m}.
Área da seção:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}002)^2}{4}=\pi\cdot1{,}0\times10^{-6}\approx3{,}14\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2}.
Portanto
q'''=\frac{q'}{A}=\frac{4}{3{,}14\times10^{-6}}\approx1{,}27\times10^{6}\\ \mathrm{W/m^3}.

Passo 3

Para o fio nu em equilíbrio térmico, impomos
4 = h\,P\,(T-20)+\varepsilon\,\sigma\,P\,(T^4-20^4),
com P=\pi D= \pi\cdot0{,}002\approx0{,}00628\\ \mathrm{m}, \varepsilon=0{,}3, \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W/m^2K^4} e
h=1{,}25\Bigl(\frac{T-20}{0{,}002}\Bigr)^{1/4}.
Resolvendo por iteração simples (teste de valores), chega-se a
T\approx58\,^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Com isolante plástico de t=2\text{ mm}, temos raios interiores e exteriores
r_1=1{,}0\text{ mm}=0{,}001\text{ m},\quad r_2=3{,}0\text{ mm}=0{,}003\text{ m},
e resistência condutiva por metro
R_{\rm cond}=\frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi\,k} =\frac{\ln(3)}{2\pi\cdot0{,}25}\approx0{,}6997\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.
O balanço é
4=\frac{T_i-T_o}{R_{\rm cond}} \quad\text{e}\quad 4=h_o\,P_o\,(T_o-20)+\varepsilon_o\,\sigma\,P_o\,(T_o^4-20^4),
onde P_o=\pi\cdot0{,}006=0{,}01885\\ \mathrm{m}, \varepsilon_o=0{,}9 e
h_o=1{,}25\Bigl(\frac{T_o-20}{0{,}006}\Bigr)^{1/4}.
Iterando, obtém-se
T_o\approx39\,^\circ\mathrm{C},\qquad T_i=T_o+4\cdot R_{\rm cond}\approx39+2{,}8=41{,}8\,^\circ\mathrm{C}.
Se aumentarmos a espessura do isolante, R_{\rm cond} cresce, de modo que T_i sobe mais e T_o aproxima-se de T_\infty.

Resposta

(a) q'=4\\ \mathrm{W/m} e q'''=1,27\times10^6\\ \mathrm{W/m^3}.
(b) T\approx58\,^\circ\mathrm{C}.
(c) Temperatura da interface fio–isolante T_i\approx41{,}8\,^\circ\mathrm{C}; na superfície externa do isolante T_o\approx39\,^\circ\mathrm{C}. Com maior espessura, T_i aumenta e T_o tende a T_\infty.

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