A queda de pressão,
, para escoamento permanente e incompressível através de um tubo retilíneo horizontal, depende do comprimento do tubo,
, da velocidade média,
, da viscosidade do fluido,
, do diâmetro do tubo,
, da massa específica do fluido,
, e da altura média da rugosidade da parede do tubo,
.
Obtenha uma relação funcional adimensional que mostre o que causa influência na queda de pressão do escoamento permanente e incompressível em um tubo.
Passo 1
O enunciado pede uma relação adimensional para a queda de pressão
em escoamento permanente, incompressível e horizontal num tubo retilíneo. O conteúdo é análise dimensional via Teorema de Buckingham. Vamos usar as variáveis
,
,
,
,
,
e
para montar grupos adimensionais que expliquem de que parâmetros depende a perda de carga.
Passo 2
Listamos cada variável e suas dimensões fundamentais (M: massa, L: comprimento, T: tempo):
(queda de pressão):
(comprimento do tubo):
(velocidade média):
(viscosidade):
(diâmetro):
(massa específica):
(rugosidade):
Passo 3
São
variáveis e
dimensões fundamentais, logo teremos
grupos adimensionais
. Escolhemos como variáveis repetidas
, pois entre si formam matrizes independentes de dimensão.
Passo 4
Construímos cada
escrevendo cada variável não repetida vezes potências de
de modo a obter dimensão pura:
- Para
usando :
supomos
impondo exponents em
iguais a zero, encontra-se
.
Logo
Logo
- Para
usando : como , repetidas em dão
3. Para usando : resolvendo similarmente obtemos
onde
.
- Para
usando : como , resulta
Passo 5
Pelo Teorema de Buckingham, existe uma função
Substituindo as
:
Em engenharia hidráulica costuma-se agrupar
definindo o fator de atrito
, mas a forma geral é essa.
Resposta
A relação adimensional é
ou, equivalente, escrevendo em termos de Reynolds,
com
.