A queda de pressão, \Delta p, para escoamento permanente e incompressível através de um tubo retilíneo horizontal, depende do comprimento do tubo, L, da velocidade média, \bar{V}, da viscosidade do fluido, \mu, do diâmetro do tubo, D, da massa específica do fluido, \rho, e da altura média da rugosidade da parede do tubo, e.
Obtenha uma relação funcional adimensional que mostre o que causa influência na queda de pressão do escoamento permanente e incompressível em um tubo.

Passo 1

O enunciado pede uma relação adimensional para a queda de pressão \Delta p em escoamento permanente, incompressível e horizontal num tubo retilíneo. O conteúdo é análise dimensional via Teorema de Buckingham. Vamos usar as variáveis \Delta p, L, \bar V, \mu, D, \rho e e para montar grupos adimensionais que expliquem de que parâmetros depende a perda de carga.

Passo 2

Listamos cada variável e suas dimensões fundamentais (M: massa, L: comprimento, T: tempo): \Delta p (queda de pressão): \bigl[M L^{-1} T^{-2}\bigr] L (comprimento do tubo): \bigl[L\bigr] \bar V (velocidade média): \bigl[L T^{-1}\bigr] \mu (viscosidade): \bigl[M L^{-1} T^{-1}\bigr] D (diâmetro): \bigl[L\bigr] \rho (massa específica): \bigl[M L^{-3}\bigr] e (rugosidade): \bigl[L\bigr]

Passo 3

São n=7 variáveis e k=3 dimensões fundamentais, logo teremos n-k=4 grupos adimensionais \pi_1,\pi_2,\pi_3,\pi_4. Escolhemos como variáveis repetidas D,\bar V,\rho, pois entre si formam matrizes independentes de dimensão.

Passo 4

Construímos cada \pi escrevendo cada variável não repetida vezes potências de D,\bar V,\rho de modo a obter dimensão pura:
  1. Para \pi_1 usando \Delta p:
    supomos
\pi_1 = \Delta p\;D^a\;\bar V^b\;\rho^c
impondo exponents em M,L,T iguais a zero, encontra-se
a=0,\;b=-2,\;c=-1.
Logo
\pi_1 = \frac{\Delta p}{\rho\,\bar V^2}.
  1. Para \pi_2 usando L: como [L], repetidas em D dão
    \pi_2 = L\,D^{-1}=\frac{L}{D}. 3. Para \pi_3 usando \mu: resolvendo similarmente obtemos
\pi_3 = \frac{\mu}{\rho\,\bar V\,D} = \mathrm{Re}^{-1},
onde \mathrm{Re} = \dfrac{\rho\,\bar V\,D}{\mu}.
  1. Para \pi_4 usando e: como [L], resulta
    \pi_4 = e\,D^{-1}=\frac{e}{D}.

Passo 5

Pelo Teorema de Buckingham, existe uma função
F\bigl(\pi_1,\pi_2,\pi_3,\pi_4\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \pi_1 = \Phi\bigl(\pi_2,\pi_3,\pi_4\bigr).
Substituindo as \pi:
\frac{\Delta p}{\rho\,\bar V^2} = \Phi\!\Bigl(\tfrac{L}{D},\,\mathrm{Re}^{-1},\,\tfrac{e}{D}\Bigr).
Em engenharia hidráulica costuma-se agrupar \tfrac{L}{D} definindo o fator de atrito f, mas a forma geral é essa.

Resposta

A relação adimensional é
\frac{\Delta p}{\rho\,\bar V^2} = \Phi\!\Bigl(\tfrac{L}{D},\,\mathrm{Re}^{-1},\,\tfrac{e}{D}\Bigr),
ou, equivalente, escrevendo em termos de Reynolds,
\frac{\Delta p\,D}{\rho\,\bar V^2\,L} = f\!\Bigl(\mathrm{Re},\,\tfrac{e}{D}\Bigr),
com \mathrm{Re} = \dfrac{\rho\,\bar V\,D}{\mu}.

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