Em velocidades relativamente muito altas, o arrasto sobre um objeto é independente da viscosidade do fluido. Desse modo, a força de arrasto aerodinâmico, F, sobre um automóvel é uma função somente da velocidade, V, da massa específica do ar, \rho, e do tamanho do veículo, caracterizado pela sua área frontal, A. Use a análise dimensional para determinar como a força de arrasto F depende da velocidade V.

Passo 1

O enunciado diz que a força de arrasto aerodinâmico F depende apenas da velocidade V, da massa específica do ar \rho e da área frontal do veículo A.
Conteúdo: análise dimensional, onde vamos expressar F em termos de potências de \rho, V e A.

Passo 2

Anotamos as dimensões fundamentais de cada grandeza:
\dim F = \mathrm{M L T^{-2}},
\dim \rho = \mathrm{M L^{-3}},
\dim V = \mathrm{L T^{-1}},
\dim A = \mathrm{L^{2}}.

Passo 3

Postulamos que
F \propto \rho^{\,a}\;V^{\,b}\;A^{\,c}
e escrevemos a dimensão do lado direito:
\dim(\rho^{a}V^{b}A^{c}) = (\mathrm{M L^{-3}})^{a}\,(\mathrm{L T^{-1}})^{b}\,(\mathrm{L^{2}})^{c} = \mathrm{M^{a}\,L^{-3a+b+2c}\,T^{-b}}.

Passo 4

Igualamos expoentes nas dimensões de massa, comprimento e tempo:
Para \mathrm{M}:
1 = a.
Para \mathrm{T}:
-2 = -b \quad\Longrightarrow\quad b = 2.
Para \mathrm{L}:
1 = -3a + b + 2c = -3\,(1) + 2 + 2c = -1 + 2c \quad\Longrightarrow\quad 2c = 2 \quad\Longrightarrow\quad c = 1.

Passo 5

Substituindo a=1, b=2, c=1 obtemos
F \propto \rho^{1}\;V^{2}\;A^{1},
ou seja,
F \sim C\,\rho\,A\,V^{2},
onde C é uma constante adimensional (coeficiente de arrasto).

Resposta

F \propto \rho\,A\,V^{2}.

Exercícios relacionados